作者：David S. Richeson 2021-9-13 譯者：zzllrr小樂 2021-9-19
維度的概念看起來很簡單，但數學家幾個世紀以來一直在努力精確地定義和理解它。
維度的概念乍一看似乎很直觀。 向窗外瞥一眼，我們可能會看到一隻烏鴉正在狹窄的旗杆上體驗零個維度，一根電話線上的知更鳥被限制為一個維度，一隻在地面上自由移動的鴿子處在兩個維度，而一隻在空中的老鷹享受三個維度。
但正如我們將要看到的，對於數學家來說，為維數的概念找到一個明確的定義並突破它的界限已被證明是異常困難的。 我們經過數百年的思想實驗和富有想象力的比較，才得出我們目前對這個概念的嚴格理解。
古人知道我們生活在三個維度中。 亞里士多德寫道：“向一個方向（延伸大小）是一條線，向兩個方向（延伸大小）是一個平面，以及（向三個方向延伸大小）一個立體。 別無其他，因為所有存在的維度就是這些了。”
然而，數學家在眾人之中，享受著想象更多維度的心智鍛鍊。 第四維度——某種方式垂直於我們的三個維度——會是什麼樣子？
一種流行的方法：假設我們的可知宇宙是三維空間中的二維平面。 一個在飛機上方盤旋的立體球對我們來說是看不見的。 但是如果它墜落並接觸到飛機，就會出現一個點。 當它繼續穿過平面時，圓盤會不斷增長，直到達到其最大尺寸。 然後它縮小並消失。 正是透過這些橫截面，我們才能看到三維形狀。
平面上的居民只能看到三維物體的橫截面。
同樣，在我們熟悉的三維宇宙中，如果一個四維球穿過它，它會以一個點的形式出現，成長為一個立體球，最終達到它的全半徑，然後收縮並消失。 這給了我們一個四維形狀的感覺，但是對於這樣的圖形還有其他的思考方式。
例如，讓我們嘗試透過構建來視覺化立方體的四維等價物，稱為超立方體（tesseract）。 如果我們從一個點開始，我們可以在一個方向上掃描它以獲得一條線段。 當我們沿垂直方向掃描線段時，我們得到一個正方形。 在第三個垂直方向拖動這個正方形會產生一個立方體。 同樣，我們透過在第四個方向上掃描立方體來獲得超立方體。
透過將藍色形狀掃過紫色形狀，我們可以視覺化各種尺寸的立方體，包括超立方體。
或者，就像我們可以將立方體的面展開成六個正方形一樣，我們可以展開超立方體的三維邊界以獲得八個立方體，正如薩爾瓦多·達利 (Salvador Dalí) 在 1954 年的畫作《受難》(Corpus Hypercubus) 中所展示的那樣。
我們可以透過展開它的面來想象一個立方體。同樣，我們可以透過展開其邊界立方體來開始設想超立方體。
所有這些合起來得到一個直觀的理解，如果一個抽象空間中有 n 個自由度（就像那些鳥一樣），或者如果它需要 n 個座標來描述一個點的位置，那麼它就是 n 維的。然而，正如我們將要看到的，數學家發現維度比這些簡單的描述所暗示的要複雜。
對更高維度的正式研究出現在 19 世紀，並在幾十年內變得相當複雜：1911 年的參考書目包含 1,832 條對 n 維幾何的引用。也許正因如此，在 19 世紀末和 20 世紀初，公眾開始迷戀第四維度。 1884 年，埃德溫·阿博特 (Edwin Abbott) 創作了流行的諷刺小說《平地》，該小說以二維生物遇到三維角色作為類比，幫助讀者理解第四維度。 1909 年《科學美國人》徵文比賽題為“第四維是什麼？”收到 245 份參賽作品，爭奪 500 美元的獎金。許多藝術家，如巴勃羅·畢加索和馬塞爾·杜尚，將第四維的想法融入到他們的作品中。
但在這段時間裡，數學家們意識到維度缺乏正式定義實際上是一個問題。
喬治·康托爾 (Georg Cantor) 因發現無窮大有不同的大小或基數而聞名。起初，康托爾認為線段、正方形和立方體中的點集必須具有不同的基數，就像一條 10 個點的線、一個 10 × 10 的網格和一個 10 × 10 × 10 的立方體有不同數量的點。然而，在 1877 年，他發現線段中的點與正方形（以及所有維度的立方體）中的點之間存在一一對應關係，表明它們具有相同的基數。憑直覺，他證明了線、正方形和立方體都具有相同數量的無窮小點，儘管它們的尺寸不同。康托爾寫信給理查德·戴德金，“我看到了，但我不相信。”
康託意識到這一發現威脅到 n 維空間需要 n 個座標的直覺觀念，因為 n 維立方體中的每個點都可以由一個區間中的一個數字唯一標識，因此，從某種意義上說，這些高維立方體是相當於一維線段。然而，正如戴德金指出的那樣，康托爾的函式是高度不連續的——它本質上是將一條線段分成無限多個部分，然後將它們重新組合成一個立方體。這不是我們希望的座標系的行為；它太無序而無益，就像為曼哈頓的建築物提供唯一地址卻隨機分配它們。
然後，在 1890 年，朱塞佩·皮亞諾 (Giuseppe Peano) 發現可以將一維曲線包裹得如此緊密且連續，以至於它可以填充二維正方形中的每個點。這是第一條空間填充曲線。但皮亞諾的例子也不是座標系的良好基礎，因為曲線與自身無限多次相交；回到曼哈頓的比喻，這就像給一些建築物多個地址。
這些是產生空間填充曲線的過程的前五個步驟。 在每一步，曲線的面積為零，但在極限情況下，它填充了正方形。 這條特殊的曲線是由大衛·希爾伯特引入的。
這些和其他令人驚訝的例子清楚地表明，數學家需要證明維數是一個真實的概念，例如，當 n ≠ m 時，n 維和 m 維歐幾里得空間在某些基本方面是不同的。這個目標被稱為“維度不變性”問題。
終於，在 1912 年，在康托爾的發現之後將近半個世紀，並且在多次嘗試證明維數不變性失敗之後，布勞威爾（L.E.J. Brouwer）透過使用他自己創造的一些方法取得了成功。從本質上講，他證明了不可能將一個更高維的物體放入較小的維數中，或者將較小的維數放入較大的維數中並填滿整個空間，而不會將物體分成許多塊，如康托爾所做，或者允許它自己相交，如皮亞諾所做。此外，大約在這個時候，布勞威爾等人給出了各種嚴格的定義，例如，可以根據球在 n 維空間中的邊界是 n − 1維這一事實歸納地分配維數。
儘管布勞威爾的工作將維度概念置於強大的數學基礎上，但它無助於我們對高維空間的直覺：我們對 3 維空間的熟悉太容易使我們誤入歧途。正如托馬斯·班喬夫 (Thomas Banchoff) 所寫，“我們所有人都是自己維度偏見的奴隸。”
例如，假設我們將 2ⁿ 個半徑為 1 的球體放置在邊長為 4 的 n 維立方體中，然後將另一個球體放置在與它們所有的中心相切的位置。隨著 n 的增加，中心球體的大小也隨之增加——它的半徑為 √n − 1。因此，令人震驚的是，當 n ≥ 10 時，這個球體超出立方體的邊。
中心球體隨著維度的增加而變大。最終它會突出到盒子外面。
高維空間令人驚訝的現實導致統計和資料分析出現問題，統稱為“維數災難”（curse of dimensionality）。許多統計技術所需的樣本點數量隨維度呈指數增長。此外，隨著維度的增加，點聚集在一起的頻率會降低。因此，找到降低高維資料維度的方法通常很重要。
維度的故事並沒有以布勞威爾結束。僅僅幾年之後，豪斯道夫（Felix Hausdorff） 提出了維度的定義——幾代之後——證明它對現代數學至關重要。考慮 Hausdorff 維的一種直觀方式是，如果我們將 d 維物件均勻縮放或放大 k 倍，則該物件的大小會增加 kᵈ 倍。假設我們將一個點、一條線段、一個正方形和一個立方體縮放 3 倍。點的大小不變（3⁰ = 1），線段變成三倍（3¹ = 3），正方形變成九倍 (3² = 9)，立方體變成 27 倍 (3³ = 27)。
當我們將 d 維物件縮放 k 倍時，尺寸會增加 kᵈ 倍。
Hausdorff 定義的一個令人驚訝的結果是物件可能具有非整數維度。 幾十年後，當芒德勃羅（Benoit B. Mandelbrot）問道：“不列顛的海岸線有多長？”時，結果證明這正是他所需要的。 海岸線可能如此參差不齊，以至於無法用任何尺子精確測量——尺子越短，測量結果越大越精確。 Mandelbrot 認為 Hausdorff 維度提供了一種量化這種鋸齒狀的方法，並在 1975 年創造了術語“分形”來描述這種無限複雜的形狀。
英國海岸線的測量長度取決於尺子的大小。
要了解非整數維度可能是什麼樣子，讓我們考慮以迭代方式生成的科赫（Koch）曲線。 我們從線段開始。 在每個階段，我們刪除每一段中間的三分之一，並用與刪除的段長度相等的兩段替換它。 無限地重複此過程以獲得科赫曲線。 仔細研究它，你會發現它包含四個與整個曲線相同但大小隻有三分之一的部分。 因此，如果我們將這條曲線縮放 3 倍，我們將獲得原始曲線的4個副本。 這意味著其 Hausdorff 維數 d 滿足 3ᵈ = 4。因此，d = log₃(4) ≈ 1.26。 曲線並不像 Peano曲線 那樣完全充滿空間，所以它不是二維的，但它不是一條簡單的一維線。
科赫曲線包含四個與整條曲線相同但大小為三分之一的部分，因此其豪斯多夫維數不是整數； 它是 log₃(4) ≈ 1.26。
最後，有些讀者可能會想，“時間不是第四維嗎？” 事實上，正如發明者在 H.G. 威爾斯 1895 年的小說《時間機器》中所說，“時間與空間的三個維度中的任何一個都沒有區別，只是我們的意識沿著它移動。” 1919 年，作為第四維的時間在公眾的想象中爆發，日食讓科學家們證實了阿爾伯特·愛因斯坦的廣義相對論和赫爾曼·閔可夫斯基的平直四維時空的曲率。 正如閔可夫斯基在 1908 年的一次演講中所預言的那樣，“此後空間本身和時間本身註定會消失在陰影中，只有兩者的某種結合才能保持獨立的現實。”
今天，數學家和其他人經常偏離我們舒適的三個維度。 有時這項工作涉及額外的物理維度，例如弦理論所要求的那些維度，但更多時候我們抽象地工作並且沒有設想實際空間。 一些研究是幾何的，例如 Maryna Viazovska 在 2016 年發現了在第 8 維和第 24 維填充球體的最有效方法。 當分形在物理、生物學、工程、金融和影象處理等不同領域進行研究時，有時它們需要非整數維度。 在這個“大資料”時代，科學家、政府和企業建立了人、地點和事物的高維度檔案。
幸運的是，鳥類和數學家都不需要完全理解維度就可以享受。
