馮•卡門：用數學武裝工程科學

中學生英才計劃 2021-12-20 16:34

1943年，馮•卡門創辦“Quarterly of Applied Mathematics”(《應用數學季刊》)，並執筆完成“Tooling up mathematics for engineering“

(《用數學武裝工程科學》)一文刊登於創刊號卷首。文章透過數學家與工程師對話的形式，闡釋數學與應用科學間的關係。其中的很多觀點，今天看來仍頗富啟示作用，在此與各位分享。

人們常說，研究數學的主要目的之一是為物理學家和工程師們提供解決實際問題的工具。從數學的發展史看來，事實很清楚，許多重大的數學發現是在瞭解自然規律的迫切要求下應運而生的，許多數學方法是由主要對實際應用感興趣的人創立的。然而，每個真正的數學家都會感到，把數學研究侷限於考察那些有直接應用的問題，對這位“科學的皇后”來說未免有點不公道，事實上，這位“皇后”的虔誠的歌頌者對於把他們的女主人貶黜為她的比較注重實際的、一時較為顯赫的姐妹的“侍女”，經常感到忿忿不平。

這就不難理解為什麼數學家和工程師持有爭論不休的分歧意見了。兩種職業的代表人物不止一次地表示了這種分歧意見。

數學家對工程師說：我在堅實的基礎上建造了一座大廈——建立在明確的公設上的定理體系。我深入分析了邏輯思維過程， 確定是否存在可以認為是正確的（至少是可能正確的）論述。我所關心的是， 由我自己的思維確切定義的事物之間的函式關係，以及使我得以探索這種函式關係各個方面的方法。如果你們發現我所建立的概念、邏輯過程或方法能用於你們的日常工作， 那我自然感到欣慰。我得到的所有結果任憑你們處置， 但是得讓我按自己的方式來追求自己的目標。

工程師說：你們的老前輩，那些偉大的數學家，他們的意見同你們可不一樣。難道尤拉不是既致力於純粹數學方面的發現，又從事工程裝置的理論研究嗎? 渦輪機、柱的屈曲和打樁的基本理論方面，都有著尤拉的貢獻。數學分析的發展是同物理學的發展特別是力學的發展分不開的。很難設想，要是沒有為計算運動物體軌跡尋找數學工具的迫切要求，人們的頭腦中會孕育有關微分方程的概念。倘若我們假定運動由某些基本的力學關係或幾何關係確定，而這些關係在運動的每一瞬間都成立，就會自然而然地產生微分方程的概念。還有， 變分法也主要是為解決物理問題而創立的，有時解決這些問題本身就是目的， 有時是為了實際應用。十八世紀和十九世紀的前幾十年也許是數學科學突飛猛進的黃金時代，那時，純粹數學與應用數學之間並沒有明確的界限。大師們把邏輯思維和直觀創造力結合起來，創立了一系列方法和定理；大功告成之後，進行抽象思維的數學家著手致力於彌補邏輯推理方面的某些不足之處，把前一時期大師們的豐碩成果加以編纂，使之系統化。

數學家：我覺得你低估了你所說的系統編纂工作的重要性。為了保證正確地應用微積分學和微分方程理論，絕對有必要精確地定義我們所說的極限過程，給出象無窮小、無窮大這樣的術語的真實涵義，你說對不對呢？你大概不能把伽利略稱為抽象數學家或純粹數學家吧！也許你還記得，正是伽利略指出了把相等和不等的觀念應用於無窮量時必然會出現的矛盾。他注意到，你可以說整數比其平方數的個數多，因為每個平方數都是整數，但整數不全是平方數；你也可以說，平方數和整數的個數相同，這同樣也是合理的，因為每一個整數對應著一個平方數。可公度性、可數性、連續統的邏輯分析、集合論以及近代的拓撲學， 這些觀念的建立是人類思維發展的關鍵步驟；其中有許多是沒有自覺地考慮物理應用而獨立地構想出來的。但是，即使從應用的角度看來，也有必要加固我們自己的大廈的基礎，也就是說，改善數學的邏輯結構。對級數收斂性條件（即允許進行逐項微分和積分的條件）不作精確的分析，誰也不可能有把握正確無誤地運用級數。在具有想象和直觀天賦的人們完成主要工作之後，再開始尋求新發現的牢固基礎，這是一種不正確的傾向。達朗貝爾就已經要求把微積分學建立在極限論的基礎上了；按你的看法，柯西，勒讓德和高斯無疑在富有創造性的數學天才之列，他們為數學從直觀到嚴格的過渡作出了卓有成效的貢獻。十九世紀後半葉，數學繼續朝著當時的數學家（或許是樂觀地）認定的完全合乎邏輯和絕對嚴格的偉大目標向前發展。然而，除了闡明基本原理之外，那個時期也為應用數學的發展開闢了新的道路。比如說，你提到了微分方程，你們工程師從這一數學分支得益非淺。複變函式理論、微分方程按奇性的分類以及對這些奇性的研究，都是在你所說的系統編纂時期內發展起來的，難道你不認為這些正是建立微分方程這一數學分支的非常重要的步驟嗎？這些理論把透過試湊求解微分方程的原始方式變成了全面瞭解整個領域的系統的方法。

工程師：我同意你的觀點，尤其是關於複變函式論的觀點。確實，保角變換是解決無數物理問題的一種最有效、最優美的方法。我也同意你關於奇性分析具有根本重要性的看法。事實上，在非正則點附近，我們所用的圖解法和數值解法肯定會失效或不便於使用，從而必須求助於解析方法。不過遺憾的是，你們數學家有點象對人體疾病比對人體正常功能規律更感興趣的醫生，或者象關注人類思維病理失常而不去研究正常思維過程規律的心理學家。大多數情況下，我們必須研究“性質良好的函式”，希望有行之有效的方法相當準確地確定它們在某些特定情形中的性質。

數學家答道：難道你們不會應用我們提出的求解微分方程和積分方程的一般方法嗎? 如果它們的解由如你所說的“性質良好的函式”給出，那麼我看不出還有什麼了不得的困難，也不明白你們還要我們幹些什麼。

工程師：你們的一般定理處理的多數是解的存在性和解法的收斂性，你可能記得亥維賽說過的俏皮話：“按照數學家的意見，這個級數是發散的；因此，我們或許可以拿它來派點用場。”你們勞師費功、絞盡腦汁來證明解的存在性，而我們從物理上看來，這一點卻常是一目瞭然的。你們很少花費精力來尋找和討論實際有用的解；即使這樣做了，多數也只是侷限於簡單情形，比方說，討論涉及幾何形狀簡單的物體的問題。我來談談所謂特殊函式。我承認，數學家們研究過很多種特殊函式，把它們的數值列成了表，對它們的級數展開式和定積分表示式已經作了詳盡研究。可惜，這種函式在工程中應用範圍有限。物理學家在探索基本定律時可以選擇幾何形狀簡單的試件作實驗研究；工程師卻不得不直接處理形狀複雜的結構，他不能僅僅因為一種結構幾何形狀簡單，應力分佈可用特殊函式算出，就退而採用這種結構。而且，大多數特殊函式僅適用於線性問題。過去，為了簡單起見，物理學家和工程師往往把他們的問題加以線性化。數學家喜歡這種簡化，因為它使優美的數學方法大有用武之地。遺憾的是，隨著工程科學向前發展，人們需要得到較為精確的資料和進一步接近物理真實性， 這就迫使我們想方設法去解決許多非線性問題。

數學家：嗯，很多現代數學家對於非線性問題極感興趣。看來，你們迫切需要的是發展適當的近似方法。不過，你對我們證明存在性的批評是不正確的，現代數學中許多存在性的證明遠遠超過了直觀的範圍。我也知道，你們工程師非常成功地使用了各種迭代方法。譬如說，要證明一個邊值問題解的存在性，我們也經常採用迭代法，換句話說，我們和你們一樣，確實也構造了一系列近似解，唯一的區別在於你們只是假定迭代過程可以產生唯一的解，而我們證明了這一點。還有，在我看來，你們用於解彈性力學和結構力學問題的所謂“能量法”，與變分學中的直接方法密切相關，我指的是，不解尤拉-拉格朗日微分方程，直接構造有給定邊值的極小化函式的方法。我覺得，在純粹數學分析與應用數學之間畢竟存在許多共同之處。

工程師：我並不否認這一點，事實上，我一向認為，分析是應用數學的支柱。不過，要是你真正著手把分析應用到實際情形中去，你就會看到，從掌握一種近似方法的一般概念到成功地應用這種方法，還有很多工作要做。比方說，存在著可資利用的時間和人力的問題。做某些型別工作時，我們可以用精巧的機械裝置或電動裝置，象微分分析儀或電動計算機之類。然而，在大多數場合下，我們必須不借助於這種手段進行計算，這時，光知道近似過程的收斂性就不夠了，我們還得確定用哪一種方法能在最短的時間內得到具有給定近似程度的解，必須對逐次近似所改進的準確度作出恰當的估計，所有這些實際問題要求我們進行艱苦的數學研究。我認為，我們確實需要數學家的幫助，來改進我們的直觀方法，或許不妨說，對我們的直觀方法加以評論和系統化。事實上，要把數學成功地應用於工程問題，需要數學家與工程師的密切合作。在表面上截然不同的領域裡找出作為它們基礎的共同的數學關係， 這決不是一件輕而易舉的事。打算搞應用數學研究的數學家必須對所涉及的物理過程有相當透徹的瞭解。另一方面，為了適當地利用數學工具， 工程師必須深入鑽研數學分析的基本原理，並達到相當高的水平。把一堆機床雜亂無章地拼湊起來， 成不了一個高效率的金工車間。我們知道， 在你們的數學寶庫裡有著非常管用的機床， 擺在我們面前的任務是要懂得如何調整、使用它們。

數學家：我覺得你的話有些道理。把你的譬喻引伸一步，為了成批解決工程問題，你們還需要某種機床設計師——真正的應用數學家。他們的原有經歷可以是各種各樣的：可以來自純粹數學界、物理學界或工程科學界，但他們的共同目標是為工程科學提供數學工具。

馮·卡門

西奧多·馮·卡門（1881年—1963年），匈牙利猶太人，1936年入美國籍，是20世紀最偉大的航天工程學家，開創了數學和基礎科學在航空航天和其他技術領域的應用，被譽為“航空航天時代的科學奇才”。他所在的加利福尼亞理工學院實驗室後來成為美國國家航空和航天噴氣實驗室， 我國著名科學家錢偉長、錢學森、郭永懷都是他的親傳弟子。