顯然，一個複數對應複平面（其實就是直角座標平面）上一個點，於是我們可以在複平面內觀察幾何影象。
例如：|z|=1表示以原點為圓心，1為半徑的圓。
不過，如果影象很大，趨近於無窮，我們就無法觀察影象了。太遠了，目力不能及。
現代人有計算機幫助，都覺得困難的事，古人當然也覺得很男。我們現代人的辦法是加大記憶體，擴大螢幕，看得更遠。
古人自由古人的思路，他想啊，既然遠的影象我看不到，就拉近了看。
嗯，這個思路靠譜，說幹就幹。
把很遠很遠的影象怎麼拉近呢？
記得我們前幾天說過的地圖的故事嗎？地圖是將球形的地球展開成一個平面，如果我們反過來，豈不是可以將一個平面縮成一個球！
如圖
將一個球放在原點上，與平面相切，假設南極S與原點O重合，從北極N與平面上任意一點Z相連，則連線必然與球有唯一交點P，這個P就是Z的對應點。
如此，我們就可以將整個平面對映到一個球面上去。當然，平面上的函式影象也可以對映到球面上，方程影象也可以對映到球面上，最大的好處是，以前“看不見”的無窮遠處的影象現在變得和其他地方的影象一樣清晰了。
真是個好主意，想出這個主意的人不是俺，是一個叫黎曼的複雜人物。（黎曼和尤拉不同，尤拉寫的東西，很多還是能看懂，黎曼寫的，幾乎沒有看得懂的。）
我們來研究一下，Z(x,y)怎麼轉換成P？
看著黎曼球，我有點害怕，還是退回咱們比較熟悉，比較簡單的領域。
平面上有一根數軸，在原點處作一個半徑為1，與數軸相切的圓，顯然，數軸上的任何一個點r，都可以在圓上找到一個點與之對應。如圖
現在我們可以將平面上的點Z，轉換到半徑為1的球面上去了。
完美！平面上的任意一個點Z，都可以用這個公式對應到半徑為1的球面上去。
作為數學，這個對應有一個小小瑕疵：球面和平面不是一一對應。
顯然，平面上的任意一個點，在球面上都有一個點與之對應。
但是，球面上卻有一個點，在平面上沒有點與之對應。
聰明的你一下子就猜出來了，就是北極點N，在平面上找不到對應點。
我們也可以這樣認為，北極點N對應的就是平面的無窮遠點。
小小毛賊，豈能難到大咖黎曼。祭出數學家特有工具：定義！
於是黎曼設想平面上一個模為無窮大的點，這個假想點稱為“無窮遠點”，記為∞
複平面加上∞後稱為擴充複平面
如此，擴充複平面就和球面一一對應了。
涉及∞，數學家一般都小心翼翼，因為太容易出岔子了，黎曼也不例外，給這個∞加上幾個枷鎖：
(1)運算∞±∞,0∙∞,∞/∞,0/0無意義
(2)a≠∞時，∞/a=∞,a/∞=0,a±∞=∞±a=∞
(3)b≠0時，∞∙b=b∙∞=∞,b/0=∞
(4)∞的實部、虛部、幅角都無意義
(5)複平面上的每一條直線都經過∞，且任何一個半平面都不包含∞
在重重限制之下，擴充複平面就可以像一般的平面一樣使用了，球面上的點就和擴充複平面上的點一一對應了。
