算術很古老，算術公理系統卻姍姍來遲。
算術，從字面理解即為運算之術，誰的運算?無疑是數的運算，數是算術的前提和基礎，沒有數，算術便是無源之水、無本之木。但“算術”一詞卻將“數”這個主角隱沒不表，加之算術是術，不是學，猶不及道，而中國人通常認為術在學和道之下，以致人們誤以為算術只能作為雕蟲小技教教小孩子，沒啥大用；學習算術也僅僅是識數、數數，以及練習十個印阿數字（即印度－阿拉伯數字的簡稱）之間的加、減、乘、除四則運算，沒啥難的。1＋1＝2，簡單吧，小孩子都會，有必要拿來正兒八經地討論嗎?若是單純做幾道算術題確實沒必要，太簡單，若是將“數”從幕後推至臺前，重點對“數”進行一番考察和演繹，讓主角迴歸主角，事情就不那麼簡單了。
講數學不從算術講起，一定會本末倒置；講算術不從數講起，一定會捨本逐末。數是數學的基礎，數學即數之學，所以數是什麼?——便是一個既根本又不可迴避的問題，理當最先回答，還不能含糊——數是可以運算的符號。
一般來說，數的產生或者確立應當具備三個要素：概念、符號和運算。首先是概念，什麼是數的概念?看它所回答的問題，數之初真真要回答的問題是：物件有沒有，或者有多少?這裡的“有”和“沒有”、以及“有”中之“多少”便是最原始的數的概念。“沒有”的概念很清楚，就是零，而“多少”則是混沌不明卻又蘊含無限可能，需要人們付出極大努力才能將其一一分明出來。老子的名言是：道生一，一生二，二生三，三生萬物。“多少”在老子這裡就分明出了“一”、“二”、“三”和“多（無數可計則謂之多，萬物即多）”，橫看眾多人類文明，能取得這般成績已經相當不錯，強過許多不會數數抑或只能數到二的部落和族群。可想而知，人類並未止步於此，而是從混沌之中分明出越來越多的數：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、…，可以任意大，以至無窮。
然而概念存在於人的意識當中，意識又是一個虛無縹緲的世界，看不見摸不著，必須用外在有形的東西將它們一一表示出來，賦無形以有形，讓我們不僅可以看見，還能很方便地書寫、運算和傳播，於是人們發明了記數符號，將數用符號固定和記錄下來。而符號見之有形，是物質化的概念或者概念化的物質，能在物質和意識之間流動，再以“意識A→符號→意識B”的方式作為中介，讓概念在意識和意識之間流動，好的符號流動就快效率就高。像中國的算籌數字、古巴比倫的楔形數字、古埃及的象形數字、古希臘的愛奧尼亞字母數字等等，世界上先後出現過各式各樣自成一體的數字符號，最終留存並通行全世界的即是現代人非常熟悉的印阿數字系統：1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，十個符號，以及由這些符號所表示的數與數之間的加減乘除運算。從結果來看，簡潔高效的印阿數字系統是最好的數字符號系統，除此而外，別無他者。
數首先是概念，其次是符號，最終是運算。概念、符號以及運算之間，關係密切，沒有符號，則不能言數，亦難運算；倘若一個數有概念有符號，卻無運算，還是不能成為一個數。比之於人，則概念是魂，符號為體，運算為用，魂體用三位一體這數就活了。最好的例子打著燈籠去找，得來的必定是數字0。
數字0最原始的概念很簡單，就是“沒有”、“無”或者“空”，此類概念在各民族的自然語言中基本上都有，但要把這樣的概念抽象為符號、抽象為數，並落實到算術運算之中，則需要更高的智慧，很多民族沒能生髮出這樣的智慧，包括很早就能數到三的華夏民族。
而符號意義上的0，最早出現在位值記數系統中，當人們發現同一個數字放在不同位置上可以表示不同的數時，必然會遇到一件事情，就是空位，即一個數位上沒有數字，是空的，起初空就讓它空著，沒想過用一個符號來表示這個空位。比如我國，公元前5世紀開始廣泛採用的算籌系統，主要用於運算，其中123456789均有與之相應的算籌數字，而且橫豎各一，唯獨0沒有，遇0則置以空位。不難發現，空位讓它空著始終存在一個問題，例如“5□2”表示“502”，那麼“5002”也有可能寫成“5□2”，空一格和空兩格區別不大時就容易產生混淆，所以在書寫和記錄數字時，為了不出錯，有必要使用一個特別的符號將這些空位一一標記出來。
但奇葩之事在於，中國的運算和記數是兩套並行不悖的系統，運算時遇上空位，而用中文將運算結果記錄下來卻完全沒有空位什麼事。拿前例來說，“502”記作“五百二”，“5002”記作“五千二”，非常乾淨利落又不容易出錯。正因如此，直到公元1247年，南宋數學家秦九昭在其著作《數書九章》中才開創性地使用專門表示空位的符號“〇”，從有概念到有符號，歷時1700多年。可以想見，如若不是外來文明的強勢輸入，單憑自己瞎搞，中國人想從空位符發展出數字0恐怕還得1700年。因為數字0與自然數相比，一個在天上，一個在地上，在地上的俯拾皆是，而在天上的，沒點天賦和悟性，對“數”沒有一個全面而通透的理解，肯定是夠不著。
類似的，其他一些使用位值進位制來記數的民族也有發明關於0的符號，準確表述應該是標記空位的符號。無可否認“空位符”確有0之義，但有符號不等於有數，數之為數在於它能參與運算，不能參與運算，或者說人們根本沒意識到它可以參與運算，發明出符號0頂多是當作一個佔位符，形同擺設佔個位置，一則表示此位無數，二則標定他數之位，還稱不上數字0。想要算它，必須為它制定相應的運算規則。從空位符到數字0只差一步之遙，邁出這關鍵一步，得益於古代印度人的修行與頓悟。誕生數字0的前期工作包括位值進位制、空位以及符號，諸多古老文明以各自的方式或多或少都有斬獲，唯獨到了公元628年，印度數學家婆羅摩笈多編著完成《婆羅摩修正體系》，書中才第一次比較完整地總結了0的運算規則，這些規則放到今天來看頗為樸素和具體：
- 一個負數和零的和是負數，一個正數和零的和則是正數，兩個零的和則為零。
- 一個負數減去零為負，一個正數減去零為正；零減零是零。
- 零和負數，零和正數，以及兩個零的乘積均是零。
- 一個正數除以一個正數或一個負數除以一個負數是正數；零除以零是零。
- 一個負數或一個正數除以零，則那個零為其分母，或者零除以一個負數或正數，則那個負數或正數為其分母。
至此概念之0、符號之0以及運算之0在婆羅摩笈多這裡合為一體，0才真正成為一個數。從概念到符號，從符號到運算，印度人最先走完全程並伸手摘得數學皇冠上的這顆明珠，所以我們公認數字0是印度人的發明，這個不起眼的小發明改變了整個世界，堪稱偉大。我們或許記不住“婆羅摩笈多”這個拗口的印度人名，記住“公元628年”，知道這是數字0誕生的時刻，清楚此前人類文明中沒有數字0，也算是銘記歷史。
古印度人對數字有著深刻的感知力和獨特的領悟力，令世人驚羨。他們自娛自樂自彈自唱，獨自唱出了“0是一個數”，而且唱得響亮，樸素的旋律向全人類釋放了一條重要資訊，數是什麼?數是可以運算的符號，運算或運算規則是確立一個數的關鍵。當然，此種或有或無的資訊老師不經言傳，學生只好意會，意會不到，誰也沒辦法，對於那些橫豎不開竅的學渣也只能隨他去了。
印度算術是好樣的，先達為師，告訴我們數是什麼，有幸作為學生，了悟之後便可以有一個大膽的設想：使用一以貫之的邏輯和方法定義和推匯出所有的數。具體做法則是模仿兩千多年前古希臘數學家歐幾里得在其《幾何原本》中所創立的理論典範，透過少數幾條簡單明瞭的定義和公理，推匯出所有的結論。
數學基本上是一個又一個公理化的演繹系統，《幾何原本》之後，幾何率先完成公理化，樹立了一個光輝的榜樣，緊接著算術公理化便是一個自然呈現的問題。最先掌握公理化方法的古希臘人對此可能是瞧不上，想想柏拉圖當年在學園門口立的那塊牌子，不懂幾何者不得入內，他可沒說不懂算術者不得入內。幾何在當時一枝獨大，幾乎等同於整個數學，絕對佔據鄙視鏈的高位，而算術作為幾何之附庸處在被鄙視的末端，所以算術公理化問題難入古希臘人的法眼。到後來以復興古希臘文明為己任的歐洲人，對此倒是夢寐以求卻求之未得，之所以求之不得，一方面從古希臘、古羅馬繼承來的算術本身就差；另一方面學習印度算術又沒學好，沒能深入領會印度算術的精髓，沒能準確理解數，也就不能將自己獨樹一幟的公理化方法正確適用於算術。誠然，要一探究竟還是得回到古希臘回到他們的思想源頭去找，及此處點到為止。
那麼一邊是印度算術，長於計算；一邊是歐氏幾何，精於證明，同樣古老而優秀，兩者如何進行完美地對接與融合呢?身為現代人，但凡學過算術與幾何，一閃念間多少會有這樣的疑問，併產生求解的衝動。這份衝動不應只允許數學精英有，普通百姓也可以有。下面便是普通百姓的一次大膽嘗試，這樣的嘗試大機率會失敗，所以不必去較真，當故事來讀即可。
遵循《幾何原本》的思路，凡事從公理開始，便有算術公理系統，以下統稱為SGL：
- 存在x，x是一個數，稱為存在公理；
- x＝x，任何數與自身相等，稱為等身公理；
- 若x＝y，則y＝x，稱為等號反身公理；
- 若x＜y，則y＞x；若x＞y，則y＜x，稱為小於、大於號的反身公理；
- 若x＝y，y＝z，則x＝z，稱為等號傳遞公理；
- 若x＜y，y＜z，則x＜z；若x＞y，y＞z，則x＞z，稱為小於、大於號的傳遞公理；
- x＋y＝y＋x，兩數相加，交換加數的位置，其和不變，稱為加法交換公理；
- x×y＝y×x，兩數相乘，交換乘數的位置，其積不變，稱為乘法交換公理；
- （x＋y）＋z＝x＋（y＋z），稱為加法結合公理；
- （x×y）×z＝x×（y×z），稱為乘法結合公理；
- 若x＝y，u＝v，則x＋u＝y＋v，等量加等量和相等，稱為加法等量公理；
- 若x＝y，u＝v，則x×u＝y×v，等量乘等量積相等，稱為乘法等量公理；
- （x＋y）×u＝x×u＋y×u，稱為乘法分配公理；
- 0＋x＝x，0加任何數等於所加之數，稱為0加公理；
- 0×x＝0，0乘任何數等於0，稱為0乘公理；
- ∞＋x＝∞，∞加任何數等於∞，稱為∞加公理；
- ∞×x＝∞，∞乘任何數等於∞，稱為∞乘公理；
- 0×∞＝x，0乘∞可以等於任何數，稱為0積公理；
- 0＜1，0小於1，0在前1在後，0與1大小有別、前後有序，故稱為有序公理；
- 1×x＝x，1乘任何數等於所乘之數，稱為1乘公理；
二十條公理，定義了四個數、三種關係以及兩種運算。其中x、y、z、u、v同屬於未知數算作一個，加三個已知數0、∞和1，即為四個數；三種關係，即數與數之間的關係不外乎相等或不相等，而不相等又分為小於和大於；運算只有“二則”，加法和乘法，離通常所說“四則”運算，還缺了減法和除法，為了讓公理系統顯得條理清晰、層次分明，這裡作為公理系統的第一梯隊，只規定最最基本的，減法和除法可以基於加法和乘法得到，所以歸入第二梯隊，後面再講。
所謂公理，都是一些極為簡單的命題，若干不可或缺又相互關聯的命題彙集在一起，就是一份規則說明書，告訴我們接下來要討論的是什麼，以及如何進行有效地討論。接下來我們要討論的是數，數作為一個討論的物件，對其進行言說，那麼它首先得存在，不管是客觀存在還是主觀想象，也不管是真還是假，總之存在是必須的，如何存在暫且不論。既然存在是必須的，那就讓它存在，開篇第一條“存在x，x是一個數”，一點不含糊、不拐彎抹角直直地說數是存在的，訂立公理猶如創世紀一般，上帝說要有光便有光，全然無可置疑。
“存在x，x是一個數”這一句看似廢話，百無一用，實則開天闢地，使得數從無到有，數的概念從模糊不清到直指可見，有了它，我們可以指著一個東西說這是一個數，符號x就是一個數，對x的言說就是對數的言說。此時的x，還不是一個具體的數，而是一個抽象的數，它可以指稱任意一個具體的數，究竟指哪一個或者哪一些不得而知，所以叫它未知數，也叫變數；與之相對的則是具體的數，也叫已知數，已知數確指自身，不變如常，所以也叫常數。但凡小學學過方程，對這套說辭就不陌生。
說到實際用處，存在公理還是有的。比如用方程解雞兔同籠問題，設雞有x只，兔有y只，我們為什麼能這麼做? x、y原本只是字母，設雞有x只，就是在設x是一個數，並指代雞的數量；設兔有y只，就是在設y是一個數，並指代兔的數量。於是x、y也被稱為代數，“代數”一詞的本義就是以字母代替具體的數字，正是依據存在公理，將字母x、y規定為可以運算的符號，它們就不再是單純的字母，而是數，可以對其進行運算。存在公理就是用來生成代數的，代數不是別的，它就是一個數，這個數的別名包括變數、未知數，以及抽象的數。
順著代數的思路往下走，研究代數與代數之間的運算以及運算規則，便有了代數學。然而以往的代數只講未知數不講已知數，以往的算術呢，只講已知數不講未知數，現在將未知數引入算術，是將算術代數化，熔代數與算術於一爐，鑄為一篇關於數的說明書。這份說明書大體可分為前後兩篇，前篇羅列代數公理，定義抽象之數及其運算；後篇列舉算術公理，定義具體之數及其運算。既然都是關於數的運算，算術加代數則統稱為“算數”，所以這套公理的準確叫法應該是“算數公理系統”，而不是“算術公理系統”，一字之差有天壤之別。但“算術公理系統”已經形成固定用法，所以後面會混合使用這兩個詞，有時候它們指稱的是同一個意思，有時候略有不同。
“算數公理系統”講數，不是從1、2、3講起，而是從x、y、z講起，明顯違背眾人的經驗和直覺。人們對數的認知總是先具體後抽象、先已知後未知，而建構數之理論則相反，它遵循先抽象後具體、先未知後已知的邏輯。我們從小學習各種知識，學多了之後大概會知道理論違背經驗是常有的事。
根據存在公理，只要宣告“存在x，x是一個數”，便得到一個數，一個我們知道但還不確切知道的數，它蘊含了所有可能的數，然後以公理的方式規定其具備一條屬性，即等身性。x＝x，任何數都與自身相等，這個還需要證明嗎?恐怕不需要，它不證自明。一個命題，簡單到不能用其他命題來證明，只能自己證明自己，不僅自證為真，而且還能為其他命題的證明提供依據，這樣的命題即為公理。等身公理，x＝x，規定所有數在任何時候總是與自身相等，或者說任何數總是保持與自身同一，數學上的等身性即邏輯學上的同一性。這條很重要，數作為一個概念，只要存在只要被說出來，就必須遵從同一律，甭管多牛，數學也得接受來自邏輯的規範。
從邏輯上講存在性是第一性，所以有第一條存在公理，同一性是第二性，所以有第二條等身公理，這兩條都在強調數的邏輯屬性，還不涉及數的運算，於是顯得無足輕重可有可無。但它們確實是算術和代數的邏輯起點，沒有它們數不會有、關於數的運算也不會有，所謂的設未知數、列方程，所謂的函式、導數，統統成了空中樓閣、夜半幽靈。
等身公理，x＝x，除了強調數的同一性之外，更重要的是定義符號“＝”。在有了第一個數之後，出現第一個連線數的符號，“＝”，這個符號的意義是什麼該怎樣使用?等身公理率先垂範，它可以被用在同一個數上，表示數跟自身相等，那麼當它連線兩個不同的數時，比如x＝y，就可以對照著x＝x來理解。
所謂相等，就是一個數跟自身比較沒有差別，一個東西自己跟自己比較怎麼會有差別呢，有差別就不是一個東西了嘛，感覺這天然就是對的，但我們沒法證明。《幾何原本》中也有一條類似的公理，能彼此重合的物體全等，它也是不加證明直接使用的。由此我們再進一步，對於兩個不同的數，如果說x跟y比較沒有差別，記作x＝y，那麼與y＝x，y跟x比較沒有差別是一回事嗎?緊隨其後的等號反身公理規定它們是一回事，即若x＝y，則y＝x，說明等號兩邊數的位置任意調換一下結果還是一樣。
等號一個符號僅表示了兩個數比較沒有差別，那麼有差別的情形如何表示呢?當然，這裡所討論的差別只在一個維度上進行，即數量上，數與數在數量上的差別無外乎相等和不相等，不相等又包括兩種情況，小於和大於，於是很自然地引入另外兩個連線符，小於符號“＜”和大於符號“＞”。與等號“＝”相對，它們的反身性是這樣，若x＜y，則y＞x，這個應該好理解，如果說你比我長得矮，等於說我比你長得高嘛。等號“＝”調換兩邊的數字結果不變，叫作反身不變性，而小於“＜”和大於“＞”符號反身則是改變的，變換規則就是隨著位置的調換而改變符號的方向，小於“＜”和大於“＞”表示兩個相反的方向，改變是指大於則變成小於，小於則變成大於。
概括來說，數與數之間只存在三種關係，要麼相等、要麼大於、要麼小於，沒有第四種關係，這種特性有個專屬的名詞，叫作三歧性，從自然數到實數應該都滿足三歧性，出現不滿足的，那就不屬於我們這裡所討論的數。
兩個數之後是三個數，當有三個未知數x、y、z時，等號、小於和大於都表現出了傳遞性，如果x＝y，同時y＝z，則必有x＝z，這一條在《幾何原本》的公理系統中被放在第一的位置，等於同量的量彼此相等，其真不言自明。相等性可以在數之間傳遞，不相等性也一樣可以傳遞，x＜y，y＜z，則x＜z，反之則是x＞y，y＞z，則x＞z。這些結論跟我們的經驗和常識完全吻合，理解起來比較容易，故不多言。
討論完數的關係，然後是數的運算，最基本的運算是加法和乘法，為什麼不只有加法呢?我們知道幾乎所有的乘法運算都可以等價地轉換成加法運算，那麼有必要在公理這樣一個最基本的層面上為乘法留一席之地嗎?有必要，一方面我們沒法單純地基於加法定義出乘法，另一方面乘法有著加法不可替代的作用，後面我們慢慢會講到。通常所謂的加法交換律和乘法交換律實際上說的是加號“＋”的反身性和乘號“×”的反身性，這種反身性是不變的，x＋y，x×y，變換一下x、y的前後順序計算結果還是一樣，如果你說不一樣，那將是另一套公理系統，不是我們這裡要討論的。
結合公理說的是對於並排的多個加號或者乘號，先算哪個和後算哪個，最終的結果不變。
等量加等量和相等，《幾何原本》中有這條，就是這麼用文字表述的，換作代數語言，若x＝y，u＝v，則x＋u＝y＋v，其實它們表達的是一個意思，說明代數與幾何、算術與幾何之間有許多相通的地方。照著加法的樣子，我們也規定了乘法的性質，若x＝y，u＝v，則x×u＝y×v。
乘法分配公理，（x＋y）×u＝x×u＋y×u，這條蘊含了加法與乘法之間的轉化，許多速算技巧根源於此，具體操作需要用到具體的數，這個時候具體的數一個還沒出現，所以不便展開。
公理系統展開的總體思路是從抽象到具體、從代數到算術，前面十三條代數公理規定的都是關於抽象之數的運算規則，這些規則也是任何具體之數所要遵循的，但這樣的規則再多沒有具體的數參與進來，只能得個空架子，好比棋盤畫好了，棋規定好了，沒有棋子，這棋怎麼下啊。
具體的數也像變魔術一樣，吹口氣說來就來。第一個具體的數是0，0是什麼?0就是滿足0加公理和0乘公理的這樣一個數，它加任何一個數，等於沒加，所加之數原來是多少還是多少，這正好刻畫了0的原始含義，0就是“沒有”，加它沒用；0乘任何一個數，統統歸0，這是0在乘法上的性質。滿足這兩條的就是0，不滿足這兩條的就不是0，0與其他數由此區分開來。知道了這兩條，我們就能在運算當中分辨和使用0，因此0對我們來說就是已知的。而所謂的0加公理和0乘公理不過是兩條算術運算規則，遵循運算規則使得符號0可以參與運算，可以參與運算，符號0便成為數字0。數是可以運算的符號，符號可以運算即為數，說的就是這個道理。
料想有人不服氣，認為在算數之外，還有其他方式可以定義0，比如集合論的方式，將0定義為空集。空集是什麼?空集是不含任何元素的集合，即“空集是沒有元素的集合”，說得再明白一點“空集是元素個數為0的集合”，定義“0是空集”，等於說“0是元素個數為0的集合”，用專業符號表示即為“0:＝Ø”，定義項已然包含被定義項，同語反覆，毫無疑問的邏輯錯誤，這個錯誤不因為使用了高冷艱深的符號就變得正確。
難道一向以邏輯嚴謹著稱的數學家會犯這等低階錯誤嗎?應該不會，是我們的理解有誤，應該理解為集合論系統中的空集與算數系統中的0等價，0等價於空集。等價是說兩個系統彼此獨立、各自執行，碰巧集合論系統中的空集與算數系統中的0之間具有某種妙不可言的對應關係，透過觀察0在算數系統中的執行方式我們可以很好地揣測空集在集合論系統中的執行方式，反之亦然。
由於0是算數系統中的原始概念，它只能在算數系統中被定義，如同空集只能在集合論系統中被定義一樣，倘若非要定義“0是空集”，則意味著算數系統只是集合論系統中的一個子系統，0可以化歸為集合，那麼算數系統中的所有數也都可以化歸為集合。於是算數系統自身的獨立性不復存在，集合論系統便可以堂而皇之地取而代之，數學家們真真這麼幹了，並從中發現集合論是一切數學的基礎，為此欣喜若狂。但有一個問題被選擇性地忽略了，既然0與空集是等價的，可以說“0是空集”，那麼反過來是不是也可以說“空集是0”呢?集合論系統是不是也可以歸結為算數系統的一個子系統呢?歸歸看，沒準會有驚喜的發現。
0不能定義為空集，空集也不能定義為0，那空集該怎麼定義呢?其實我們可以仿照0在算數公理中的定義，這樣來定義空集：存在一個集合Ø，它與任何一個集合A的並集為A（Ø∪A＝A），與任何一個集合A的交集為該集合自身（Ø∩A＝Ø），則稱集合Ø為空集。從集合與集合之間的運算關係來定義空集，就比簡單地說一句存在一個集合，它沒有元素，要嚴謹得多，至少不用跟0扯上關係，說“沒有”根子上說的還是0。
關於0，還有一個令人莫名驚詫的疑問，0究竟是不是自然數?這裡的“自然數”當指自然而然產生的數。可以從兩個不同的維度來回答，一個是歷史事實，一個是理論依據。歷史事實是明擺著的，沒啥可說的，0的產生很晚，也不像1、2、3那樣自然而然，說“0是自然數”，於史無據。而“0不是自然數”，原本是不言而喻、板上釘釘的，但近現代以來，數學家們透過努力居然為“0是自然數”找到了理論依據，既有觀念被動搖，連小學課本都改了，小朋友數數都從0開始數，而不是從1開始數，0成了最小的自然數。然而這個沒有歷史事實作為支撐的理論依據真的靠得住嗎?真還是不真，都應動腦子先思考過，那些不動腦子或者只動他人腦子的人不在此番討論之列。
規定了0的加法和乘法，得到了數字0，是不是應該立馬再加一條“0不能做除數”呢?這可能是很多人憂心忡忡念念不忘的，尤其是對那些從小數學成績優秀的人來說。但是請注意，這個時候還沒有定義除法，除數、被除數，以及除號這些東西都還沒有，0能不能做除數全然無從談起，強加肯定不行。對於所有數學概念我們嚴格遵循“不定義不使用，先定義後使用”的原則，等定義了除法，我們再來討論0到底能不能做除數。
第二個具體的數是∞，數字∞（關於它的讀音，三個字，讀作無窮大；兩個字，讀作無窮；一個字，讀作道，所謂道無窮）的疑問最多，首先它是不是一個數就成問題。∞也是一個數?數字∞的概念是“無窮”、“無限”或者“沒完沒了”；符號“∞”，像似放倒的數字8；運算規則有三條——∞加任何數等於∞、∞乘任何數等於∞、0乘∞可以等於任何數——有概念有符號有運算，數之為數的三要素齊備，怎麼就不能是一個數呢?數學是最講道理的地方，不能信口開合光圖嘴快，說“∞不是一個數”，還請務必攢好一個經得起推敲的理由。
說“0是一個數”，大家現在覺得自然而然、理所當然。但要知道，數字0在印度人發明以前，古代的中國、瑪雅和巴比倫這些曾經引入空位或發明零號的民族，都不曾意識到0是可以單獨存在的一個數，如若不是印度人給出關於0的運算規則，並且我們學習和掌握了這些運算規則，那麼我們肯定也不會認為“0是一個數”。
數字0作為一個外來物種，歐洲人從阿拉伯人那裡發現並試圖引進之初就遭到抵制，據說當時有羅馬教皇宣佈：“羅馬數字是上帝創造的，不允許0存在，這個邪物加進來會玷汙神聖的數。”這段話清楚表明羅馬數字中沒有0，奉行羅馬數字的歐洲人不認為“0是一個數”。由於0與∞之間存在極為精妙的關係（0積公理，0×∞＝x），連數字0都沒有，更不會有數字∞，不認為“0是一個數”，更不會認為“∞是一個數”，這背後深層的原因是沒有搞清楚數的本質是什麼，突然躥出一個陌生的符號，自然就吃不準到底是不是數。
對待無窮，人們似乎都隱約感覺到它可能是一個數，比方說下面的結論不會有人反對：
∞＋1＝∞，無窮加1，還是無窮；
∞×2＝∞，2倍的無窮，還是無窮；
無窮∞已然是在參與運算，這是數之為數的基本特徵，而且人們也估摸出一點無窮在加法和乘法上的運算規則，但是，一旦將無窮擴充套件到減法和除法上，人們就蒙圈了，還是剛才的式子：
∞＋1－∞＝∞－∞，兩邊都減去∞，得到1＝0；
(∞×2)/∞＝∞/∞，兩邊都除以∞，得到2＝1；
1＝0、2＝1，這怎麼可能呢?絕對不可能。正是這些矛盾的結論，讓人們不敢堅定自己的感覺，阻斷了人們朝無窮是數的方向上去思考。0是一個數，但0不能做除數，這個人們可以接受；而對於“∞是一個數，但∞不能做減數和除數”，則無人考慮。
再有就是傳統觀念的束縛，早在兩千多年前的古希臘，亞里士多德就將無窮劃分為潛無窮和實無窮，潛無窮是指一個無窮無盡、沒完沒了的過程，這個過程亞里士多德認為是可能的，可以接受；而實無窮是指這個“無窮無盡、沒完沒了的過程”的完成，是一個既有的結果，他認為這不可能，一個無窮的過程，本身就是一個永遠在進行當中尚未完成的過程，你怎麼能說它完成呢?邏輯上說不通，現實中也不可能，亞里士多德對此表示不能接受。要知道在西方歷史上，亞里士多德被奉為一代聖哲，後世學者唯亞首是瞻，一直延續一條潛無窮的研究路徑，拒斥實無窮。時至今日，無窮∞在數學分析當中也只是用來表示某種越來越大的趨勢、過程或者狀態，而不認為它是一個數。
當然人們的觀念也不是一成不變，翻閱數學史你會發現，19世紀末有一個人勇敢地站出來反對亞里士多德，他就是集合論的創始人格奧爾格·康托爾，他要為無窮重新正名，宣稱實無窮是可能的，無窮也可以是數。為此自創一套集合理論，藉助集合來研究無窮，並得出一系列驚世駭俗的結論。其中比較核心的一條是，他認為無窮不僅是數，還不是一個數，而是一列數，一列依次遞增永無休止的超級數。種種不羈的思想和言論，招致他的老師克羅內克激烈而不懈的反對，甚至不惜越過學術討論的正當邊界對康托爾實施打擊，導致康托爾39歲就精神崩潰，瘋了，住進精神病院，並最終死在精神病院裡。鮮活的例子表明：反抗傳統，後果很嚴重；研究無窮，註定很瘋狂。不過比起畢達哥拉斯的門徒希帕索斯，康托爾的遭遇算蠻好了，只是被逼瘋，沒有被扔海里餵魚，這得慶幸克羅內克的威權和脾氣還遠不及畢達哥拉斯。
其實，潛無窮與實無窮不是兩個無窮，而是一個無窮，是我們看待同一個無窮的不同方式。面對無窮，如果將觀察者置於過程之中，那麼觀察者就會跟隨這個無窮的過程處在不斷地行進之中，他觀察到的無窮自然是潛無窮；如果置於過程之外，這個無窮的過程對觀察者來說就是一個外在的完成了的整體，自然可以得出實無窮的結論。比如我們寫一列自然數：
1，2，3，4，5，…
做個思想實驗，想象自身置於該數列之中，接著數字5往下寫，會發現自然數永遠也寫不完，你可以一直寫下去；若是置於數列之外，在5後面打上省略號，表示整個自然數集，我們會說自然數集是無窮集，自然數有無窮多個。如果只有潛無窮，我們沒有把所有自然數一個個全部寫出來，就沒有十足的底氣說自然數有無窮多個，但要說自然數只有有限個，好像也不符合事實，那自然數到底有多少個?不知道，接著寫唄。而寫出全體自然數這件事本身又被認為不可能，所以你看，不寫也不行，寫又寫不完，一個簡單的問題“自然數有多少個”我們都不能直白清晰地回答。退一步來說，就算我們寫出了全體自然數，是不是也應該有一個實實在在的數來描述它呢?就如同當年，希帕索斯畫出等腰直角三角形的時候，直角邊長度為1，是不是應該有個數來表示斜邊長呢?
不僅如此，遵循潛無窮的邏輯去推演，芝諾悖論就是對的，或者說芝諾認為運動是不可能的，就是真的。例如芝諾的二分法悖論，從A點到B點，在到達B點之前必須先經過A、B之間的中點C點，在到達C點之前必須先經過A、C之間的中點D點，在到達D點之前必須先經過A、D之間的中點E點，…，這是一個沒完沒了的過程，典型的潛無窮過程，於是我們邁出哪怕很小的一步，都要經歷無窮箇中點，而潛無窮永遠沒法完成，那結果只能是我們一步也邁不出去，只能站在原地不動了，於是運動是不可能的。
荒唐吧，亞里士多德也認為荒唐，他在自己的書裡記述芝諾的觀點時也持批判態度。明知荒唐卻無以反駁，即便反駁，從亞里士多德的概念和邏輯出發必然會導向肯定芝諾悖論，而不是否定。問題出在哪呢?問題出在當時的人們還沒有數無窮的概念，數無窮的概念太過抽象，只能訴諸理性和邏輯才能把握，在理性和邏輯之外，我們經驗的能力極其有限，斷然經驗不到無窮，僅僅基於經驗和直覺去理解無窮，能理解到亞里士多德的水平也就到頭了。所謂不識廬山真面目，只緣身在此山中，我們只有跳出無窮才看清無窮，也只有掙脫經驗的牢籠才能理解無窮。
我們用“無窮”去描述一個物件，說“這是一個無窮的過程”，實際上是在回答“這個過程要經歷多少個步驟?”——“無窮個”；我們說“自然數有無窮多個”，實際上是在回答“自然數有多少個?”——“無窮個”。諸如此類的問題可以歸結為一個問題，即“物件有多少?”，這恰恰是數要回答的問題，“多少”本身就意味著數，所以只要你使用“無窮”來回答這樣的問題，則已然肯定“無窮”是一個數，不管你有意無意、高興不高興，邏輯如此。
既然是數，就不得不考慮數的抽象性和獨立性，數極抽象，既抽象於任何具體的物件，也抽象於任何觀察者的角度；數極獨立，既不依賴於任何具體的問題，也不依賴於任何醉心研究和頻繁使用它的智慧生物，它只在數與數的運算當中確立自身獨特的存在性，數的世界是一個自足自洽、自在自為的世界。對於人類而言，千百年來，數本身就是物件，古老的算術不就是一門研究數是什麼以及如何跟數打交道的學問嘛。
那麼∞作為一個數，當然也具有這樣的抽象性和獨立性，它獨立於過程也獨立於過程的結果。我們將∞用於過程，則表示這個過程是一個無窮無盡、沒完沒了的過程；用於結果，則表示這個結果是一個極大的量，用不著去區分潛在的∞，還是實在的∞，數∞不會因為用於一個過程還是用於一個結果而有所不同。想想0和1，我們有區分潛在的0和實在的0嗎?有潛在的1和實在的1嗎?沒有，我們心裡其實很清楚，數不僅抽象而且唯一，那人們為何還要堅持區分潛實，並執著於潛無窮而拒斥實無窮呢?
一種可能的解釋是，無窮的概念極其特殊，特殊到人們在試圖理解它時會出現障礙，猶如當年學習方程，方程無解，則以無解解之；遇到無窮則是，不可完成，則以不可完成完成之。聽起來有點繞，很多人就繞不過去，學習方程是這樣，估計理解無窮也是這樣。理解不了這一點，亞氏以及亞氏的追隨者們心裡肯定犯嘀咕：不可完成的過程就是不可完成，瞎搞什麼呢?
亞里士多德是何許人也?百科全書式的大哲學家，不世出的聰明人，咱普通人望塵不及一二，所以在無窮這個問題上，跟不上哲學家的思想節奏很正常，不跟就是了。我們保持簡單思維，一根筋通到底，管它過程還是結果、管它內建還是外觀、管它有窮還是無窮，它是什麼就標記什麼，它不可完成就標記為不可完成。無窮∞不是別的，就是用來標記不可完成的符號，標記好就完了，至於它如何完成則是另外一個問題，我們不去操心。現實如何如何，原本就不是數學需要操心的問題，試想平面幾何中三角形內角和180度，你真到現實中去測量一下三角形內角和，不論結果是否為180度，都不影響幾何結論的正確性，數學結論的正確性取決於邏輯而不取決於現實。
戳破窗戶紙看見外面的天光，我們就知道真正需要操心的，不是區分潛無窮和實無窮，而是將剝離了潛實之後的那個無窮抽象為數，抽象為符號∞，並落實到算數運算之中。怎麼落實呢?前有車，後有轍，前面數字0已經趟出一條大路，跟著走就行。0有0的運算規則，∞有∞的運算規則，0的規則體現的是0的特性，無窮的規則自然要體現無窮的特性。無窮的第一特性即為至大性，所謂無窮大，一個數大到無窮就不會再有比它更大的了，無窮是所有數當中最大的一個。古往今來無窮給人的印象一直是很大、特別大、比天還大，但到底有多大誰也說不清楚，任何你能舉出的現例項子都不足以說明它的大，無窮大已然超出所有人的經驗和想象，非日常語言所能描述，在它面前，我們除了感慨“無窮大到底有多大!”之外，近乎無事可做。
但是別忘了，從小學習算術、解算數題，九年功夫不是白費的，除了讓我們買菜會算價錢，還有大用，大到足以輕鬆搞定無窮，兩條算數公理就能把無窮描述清楚：∞加公理，∞＋x＝∞，∞加任何數等於∞，意味著無窮這個數加任何數得出來的還是無窮，不會得出比無窮更大的數，從而保證無窮為至大；∞乘公理，∞×x＝∞，∞乘任何數等於∞，意味著無論對無窮進行怎樣的分與合，均不能得出比無窮更大的數，還是在強調無窮的至大性。
當然你儘可以想出各種辦法，比如構造一個新數，然後證明這個新數比∞還大，那麼∞不再是無窮，你構造這個新數是無窮；抑或構造一列比∞還大的數，並證明此列數中沒有最大數，這表面上看高階大氣上檔次，數學感十足，但內裡似乎又回到了無窮不存在或者無窮不可知的迷霧當中。無窮為至大，這是無窮概念自身對自身的規定，任何形式的否定都可以理解為對無窮的遮蔽。
一般說來，有了加法和乘法規則已經能很好地刻畫一個數了，但對於無窮還不行，還需要一條0積公理，0×∞＝x，像這樣匪夷所思的等式應該如何來理解呢?為此需要引入一對重要概念——收斂與發散。一個由數字與運算子所構成的數學物件即為運算表示式，包括單項的數字1、x，多項的1＋1、1＋x等，都是這裡所說的運算表示式，可以簡稱為運算式、算式或者式子。就一個運算式而言，運算之後有沒有結果以及有多少個結果，這是必須要弄清楚的。那麼不管運算式是有窮項還是無窮項，若運算結果有且僅有一個，則稱該算式收斂；若有多個，則為發散；若沒有結果，則無解。收斂與發散這對概念，一般要到學習數列和極限時老師才講，現初涉算術就講，而且是以這種方式來定義和使用它們，必定驚世駭俗。
0×∞＝x，0乘∞可以等於任何數，說明式子“0×∞”發散。先不考慮這條公理的實際意義，單從整個算數公理系統內部的相容性上來說，它就不可或缺。
首先有0乘公理，0×x＝0，令x＝∞，則0×∞＝0；
再有∞乘公理，∞×x＝∞，令x＝0，則∞×0＝∞。
其中式子“0×∞”與“∞×0”根據反身公理是等同的，說明同一個式子出現在不同的公理當中，得出了不同的結果，為之奈何?若是走尋常路，則給0乘公理和∞乘公理追加種種限制，以規避不同結果的出現；若是不走尋常路，則增加一條全新的公理來包容不同的結果。無疑，0積公理是為包容而來。因為0×∞＝x，x可以是任何數，所以不論0×∞＝0，還是0×∞＝∞都正確，0與∞等同地包含在未知數x之中，兩者不矛盾。也唯有如此，加入0積公理，整個算數公理系統才能自洽，原本是無奈之舉，卻意外地打開了一扇通往數學世界的大門。
別急，先別急著跳將出來反對，引入0積公理帶來的怎麼是自洽，明明是矛盾嘛，如果0×∞可以等於任何數，那麼0×∞＝0，0×∞＝1，0×∞＝∞都對，是否意味著0＝1、1＝∞呢?難不成所有數都相等，那世界不亂套了嗎?這與前面說到的，將∞擴充套件到減法和除法上得出矛盾的結果，本質上是同一個問題，是一個必須解決，也終將解決的問題，所以別急慢慢來，我們按照既定節奏一步步往前推演，此處的疑問先存著，時候到了自然而解。
第三個具體的數是1，在此規定1比0大或者0比1小，這個還用說嘛；1乘任何數等於所乘之數，當然啊。如果說整個算數公理系統是一粒數的種子，那麼三個具體的數0、∞和1則是一切數的胚芽，稱為原始數，具有原始性。“原”即原生性，只因公理而生，不由其他數而得，這就要求凡是原始數都得制定相應的運算規則；“始”即先在性，先於其他數而存在，併為其他數之始，合起來就是原始性的兩個方面。然而不論原生性還是先在性，均在建構數之理論時才會遇到，理論上先在的數與數字發展史的實際情況往往不相符。比如各個族群最先知道和掌握的都是1和2，而不是0和∞。尤其是∞，如果你跟一個兢兢業業、對無窮孜孜以求的數學家說無窮∞是一個已知數，並且兩三條算術公理就能搞定，他一定背過氣去，因為既然已知，還有什麼好求的呢?這樣看來，數字1倒是理論建構與歷史事實契合得最好的一個數，也是最沒有疑問的一個數。
綜觀二十條公理，幾乎每條都是淺顯易懂的大白話，適合每個人從小學開始學習，除了關於∞的三條公理，其他各條實際上都是小學數學教授的基本內容，要求學生熟練掌握的。0和1自不必說，像交換律、結合律、分配律，只是將它們從定律升級到了公理，名稱改變了，內容實質並沒有改變。若是將關於∞的三條公理一併教授的話，應該也沒問題，只是在解釋的時候可能需要花點心思。比如對於0積公理，0×∞＝x，可以這樣解釋：0和∞是兩個數，一公一母，∞是公，0是母，它們兩個相乘，會生出小孩，這個小孩肯定也是數，只是這個小孩長相如何、高矮胖瘦如何，我們不知道，這些要因時因地因條件才能確定，時間不同地點不同條件不同得到的數也就不同，可以是任何你能夠想到的數。
一套完整的公理系統，大致包含三個部分：已知、未知，以及由已知推導未知的方法。算數公理系統討論的核心是數，數初步細分為未知數x、y、z，和已知數0、∞、1。數有了，然後是算，算是由已知數推導未知數的方法，最基本的運算我們以代數公理的方式定義了加法和乘法。當然數與運算不是截然可以分割的，數必須透過運算來定義，運算也必須透過數來理解。好，數有了，運算也有了，棋盤畫好了，棋規立好了，棋子擺好了，萬事俱備，只待弈者。雖然一開始我們只有三顆棋子兩種走法，但相信棋子會越下越多，未知的領域會越走越開闊，變未知為已知的方法和收穫也會越積越多，而困擾我們的各種疑惑則會越辯越明瞭。
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