“量子”年度數學，回答了拓撲學、集合論甚至物理學的主要問題

數學家和計算機科學家們度過了激動人心的一年，在集合理論、拓撲學和人工智慧方面取得了突破性進展，同時還重新探討了一些老問題，並見證了數學與其他學科之間的聯絡不斷增長。但許多結果只是部分的答案，一些有希望的探索途徑被證明是死衚衕，留給未來幾代人的工作。

拓撲學家們已經度過了忙碌的一年，今年秋天，他們看到了一本書的出版，這本書最終全面地介紹了一項有40年曆史的有可能丟失的重要工作。11年前發明的一種幾何工具在不同的數學背景下獲得了新的生命，連線了不同的研究領域。集合理論的新工作使數學家們更接近於理解無限的本質以及有多少實數。

對量子場理論的數學理解的需求日益增長，量子場理論是物理學中最成功的概念之一。同樣，計算機正成為數學家們日益不可或缺的工具，他們不僅使用計算機進行計算，而且還可以解決其他不可能的問題，甚至驗證複雜的證明。隨著機器解決問題的能力越來越強，今年在理解它們為何如此擅長解決問題方面也取得了新的進展。

拓撲結構

人們很容易認為，數學證明一旦被發現，就會永遠存在。但是，1981年的一個開創性的拓撲學結果有被歷史遺忘的危險，因為僅有的幾個瞭解它的數學家年紀越來越大，離開了這個領域。邁克爾·弗裡德曼對四維龐加萊猜想的證明表明，在某些方面與四維球體相似的某些形狀在其他方面也必須與四維球體相似，使它們“同胚”。拓撲學家有自己的方法來確定兩種形狀何時相同或相似。幸運的是，一本名為《圓盤嵌入定理》的新書用近500頁的時間確立了弗裡德曼方法的邏輯，並將這一發現牢固地確立在數學經典中。

另一個最近在拓撲學上的重要成果涉及到斯梅爾猜想，該猜想問的是四維球體的基本對稱性。渡邊忠之證明了答案是不存在的。此外，兩位數學家開發了“弗洛爾·莫拉瓦K理論”，這是一個結合辛幾何和拓撲學的框架；這項工作為解決這些領域的問題建立了一套新的工具，而且幾乎順便證明了一個已有幾十年歷史的問題——阿諾德猜想。

開啟AI的黑匣子

深度神經網路是一種建立在人工神經元層上的人工智慧，無論它們是幫助數學家做數學還是幫助分析科學資料，都已經變得越來越複雜和強大。它們也依然神秘：傳統的機器學習理論認為，它們大量的引數應該會導致過擬合和無法泛化。事實證明，更老、更容易理解的機器學習模型，即所謂的核心機器，在數學上等同於這些神經網路的理想化版本，提出了理解並利用數字黑匣子的新方法。

但也有一些挫折。被稱為卷積神經網路的相關人工智慧很難區分相似和不同的物體，而且很有可能永遠都是如此。同樣，最近的研究表明梯度下降，從根本上來說是一個困難的問題，這意味著一些任務可能永遠超出了它的能力範圍。儘管量子計算前景光明，但在3月份，一篇描述如何創造抗錯拓撲量子位的重要論文被撤回，迫使曾經充滿希望的科學家們意識到，這樣的機器可能是不可能的。

無限的本質

有多少實數存在？一個多世紀以來，這一直是一個具有挑戰性的問題，也是一個尚未解決的問題，但今年，我們看到了一個重大的進展。兩位數學家在5月發表了一個證明，結合了之前兩個對立的公理，其中一個的變化，被稱為馬丁極大值，暗示了另一個，命名為(*)。結果意味著這兩個公理更有可能是正確的，這反過來表明實數的數量比最初想象的要多，對應的基數是ℵ2，而不是較小的（但仍然是無限的）ℵ1。這違反了連續統假設，ℵ0對應於所有自然數的集合。但並不是所有人都同意這個觀點，包括(*)的最初創立者休·伍丁，他發表的新研究表明連續統假說終究是正確的。

1900年，大衛·希爾伯特提出了23個未解的重要問題，今年數學家們對第12個問題給出了不完整的答案，第13個問題是關於某些數字系統的組成部分，第13個問題是關於七次多項式的解。2月還宣佈，單位猜想是錯誤的，這意味著乘法逆實際上存在於比數學家們想象的更復雜的結構中。今年1月，亞歷克斯·康託羅維奇在一篇文章和一段影片中探索了或許是數學中最大的未解決問題——黎曼假設。

擴大數學橋樑

通常，一個偉大的數學進步不僅能回答一個重大問題，而且還提供了探索其他問題的新途徑。Laurent Fargues和Jean-Marc Fontaine在2010年左右創造了一個新的幾何物體，這對他們自己的研究有幫助。但是，當與彼得·舒爾茨（Peter Scholze）圍繞完美空間的思想相結合時，法格斯-方丹曲線（ the Fargues-Fontaine curve）的意義得到了擴充套件，進一步將數論和幾何聯絡起來。這是一種介於兩個不同世界之間的蟲洞。

關於朗蘭茲專案的其他思考包括對安娜·卡萊亞尼的採訪，她的工作幫助加強和改善了不同數學領域之間的類似聯絡，以及對朗蘭茲原始猜想核心的伽羅瓦對稱群的研究。

數學和計算機聯合起來

現實世界的系統是出了名的複雜，偏微分方程幫助研究人員描述和理解它們。但是偏微分方程也是出了名的難解。兩種新的神經網路——DeepONet和傅立葉神經運算元——已經出現，使這項工作更容易。兩者都具有近似運算元的能力，可以將函式轉換為其他函式，有效地允許網路將一個無限維空間對映到另一個無限維空間。新系統比傳統方法求解現有方程的速度更快，而且它們還可能有助於為以前過於複雜而無法建模的系統提供偏微分方程。

事實上，今年計算機已經在很多方面證明了對數學家的幫助。今年1月，量子計算機公司報告了量子計算機的新演算法，透過首先將它們近似為更簡單的線性系統，量子計算機可以處理非線性系統，其中的相互作用可以影響它們自己。計算機也繼續推動著數學研究的發展，一組數學家使用現代硬體和演算法證明，與26年前發現的四面體相比，現在已經沒有更多型別的特殊四面體了。