:女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。
RangoLee是一種來自印度的古老民間藝術。它在印度語中有許多名稱。(例如，泰米爾語的Kolam，或孟加拉語的Alpana）。每天早上，家庭婦女在房子的前院裡用白色或彩色的火石粉畫RangoLee。用拇指和食指捏住一撮火石粉，透過在食指上滾動拇指，讓火石粉落在地上。RangoLee設計可分為帶點繪製和不帶點繪製。點陣可以畫成矩形、等距、徑向、分形或複合，如由矩形陣組成的分形。下面的圖（1、2、3、4、5）顯示了各種畫點的方式。
圖1：矩形 圖2：六角形 圖3：放射狀 圖4：分形 圖5：複合形
圓點可以用直線或曲線連線(圖6、7、8)，也可以在圓點周圍畫一條線(圖9、10)以形成圖案。旋轉和二面體對稱的設計和鮮豔色彩的使用使它們看起來很漂亮。更多的設計可以在作者的書[1]中找到。
圖6：當代 圖7：椰子 圖8：Dnyankamal 圖9：葡萄樹 圖10：垂直圖形
它們也可以被分為傳統和現代兩種型別。許多傳統設計都有名字，而且往往有一些文化意義。有些還附有故事或神話傳說。在傳統和現代的設計中，都可以找到帶點和不帶點的設計。帶點的設計可以透過連線點或在點的周圍畫線來繪製。
Bapat[2]、Ascher[3]和其他許多人[4, 5, 6, 7]已經研究了這些設計中的數學。在RangoLee設計中，有四個基本的數學原理：演算法思維、尤拉圖、變換幾何和迭代。與普通的素描或繪畫不同，這些線條是按照一種演算法繪製的：每次繪製時都會重複一系列精確的動作和轉折。學習演算法思維是數學和計算的基礎。大多數設計都是尤拉圖：它們可以被畫成一條永遠不會重蹈覆轍的線。有些人把兩個或更多的尤拉圖放在一起，形成更復雜的圖案。
在某些RangoLee設計中，人們可能會發現反射穿過一個軸(鏡面對稱)。其他一些設計是圍繞一個點旋轉。最後，在許多南印度設計中，人們發現比例對稱應用於迴圈:你可以在較小的基礎圖案上構建更大的圖案。數學家將這種型別的迭代定義為遞迴。這種迭代允許許多NCTM代數標準的實現，以及數字工作、數學事實、對稱性、幾何、測量，以及在數學和其他學科(如藝術和文化)之間建立聯絡。
一些數學教育家如Geevarghees[8]已經預見到並測試了[9]在小學數學教育中使用這些設計的積極效果。受這些書和所描述的設計的啟發，這位作者開發了一個名為DOT.MATH的補充方案。下面簡要介紹一下Bridges研討會的方法和教學策略。
當孩子們看到RangoLee藝術的演示時，他們對使用彩色火石粉的繪畫方法感到興奮。以此為動力，透過藝術介紹數學概念。這位作者對3-6年級的學生採用了以下順序：首先，要求他們以所有可能的排列方式畫出兩個、三個、四個、五個點。然後要求他們在沒有數字的幫助下，以所有可能的組合/方式分別連線三個、四個和五個點。這使他們有充分的機會發揮自己的想象力，想出對稱和創新的設計。他們被要求將自己的設計與朋友的設計進行比較，並討論哪一個看起來不錯，為什麼。下圖（11）應該能讓人瞭解連線兩點和三點的多種可能性。
圖11：連線兩個和三個點的許多可能性。
後來，作者給出瞭如圖（12）所示的（1，2，3，2，1）陣列的副本，並要求學生以所有可能的方式計算和新增點的數量。然後要求他們用他們能想象到的各種方式用直線或曲線連線，如圖（13）所示。他們被要求與其他學生分享他們的設計，並被要求討論哪些設計看起來很有吸引力以及為什麼。接下來，他們會看到名為Bilve Patra的設計，並被問及他們的設計中是否有與此相似的。之後，給他們一份新的（1，2，3，2，1）陣列，並要求他們把它們連線起來，形成Bilve Patra設計，進行練習。最後，他們被要求只用兩種顏色給它們塗上所有可能的方式。他們將自己的彩色圖畫與其他人進行比較。圖12、13和14說明了這項活動。
圖12：（1，2，3，2，1）陣列 圖13：連線點 圖14：給設計的1/2著色
如圖14所示，可以透過用許多不同的方式為設計的半邊或四分之一的整體形狀上色來繼續探索。這一練習可能有助於加深對等值分數的理解。為了研究形狀的對稱性，學生們被要求用虛線摺疊紙張。他們還配備了一面袖珍平面鏡，透過觀察反射來研究對稱性。
學生們被給予豆子或珠子來研究幾何性質。例如，他們被要求估計需要多少豆子來勾勒出形狀的邊界，然後他們實際上使用真正的豆子(或珠子)並計算他們使用的數量。之後，他們將實際數字與他們的預測進行比較。此外，學生們還被問及，如果豆子更大、更小或顏色不同，他們需要的豆子是更多還是更少。作為另一種選擇，學生可以使用線。
面積的概念是透過使用豆子填充整個形狀來引入的。首先，要求學生估計填充形狀所需的豆子數量。然後他們真的做了，數了數，並把這個數字和他們的估計進行了比較。
提供一張練習表，學習繪製圖案的第一次迭代的複雜設計。要求學生在設計的前三次迭代中計算出基本圖案的數量。繼而要求他們填寫圖表並畫出圖形。三、四年級學生畫條形圖，五、六年級學生畫條形圖和線形圖。然後，他們被要求預測下一次迭代中基本圖案的數量。透過這個過程，引導他們學習圖15、16和17中的y=3x和圖18、19和20中的y=x^2關係。
圖15：Bilve Patra迭代1 圖16：Bilve Patra迭代2 圖17：Bilve Patra迭代3
圖18：椰子設計迭代1 圖19：椰子設計迭代2 圖20：椰子設計迭代3
許多孩子都是視覺學習者，動手活動不僅讓孩子們覺得數學有趣，而且非常吸引人和有意義。孩子們，尤其是那些被“數學”這個詞嚇倒的孩子，在不知道自己在做數學的情況下，對做這些活動很感興趣。除了強調透過交流進行估計、預測和合作外，還將更高層次的概念，如組合學、計算機演算法和網路理論引入基礎教育。作者希望這種方法能幫助孩子們跳出框框思考，併為後代解決生活方方面面的問題做好準備。
DOT.MATH課程的優勢之一是將藝術融入數學。一路上，孩子們接觸到了來自其他文化的故事，豐富了他們的社會研究知識。本課程中的活動適用於所有兒童。他們為已經在數學方面表現出色的孩子提供了一個在不同的環境中應用數學的機會。在數學上有挑戰的孩子會對藝術感到興奮，做作業時可能並不知道他們實際上在做數學。作業單已經設計好，並與常規課程保持一致，所以除了影印外，老師不需要額外的時間。因此，這個跨學科的健康工具對於教師和孩子來說都是非常容易理解和享受的。
在這個一個半小時的研討會中，參與者將進行四項活動:1。觀看由作者製作的20分鐘的教育影片。這個影片包括關於RangoLee的神話和故事，印度婦女畫它們的鏡頭，一些計算機模擬顯示旋轉和反射對稱，以及對三位專家的採訪。這段影片還包括孩子們在教室裡實際活動的鏡頭。2. 學習如何建立RangoLee設計和裝飾他們與彩色粉末。3.透過完成大約10個來自DOT的工作表來學習方法論。數學課程為一設計，彷彿他們是學生。教師將遵循前面在方法論和教學策略中描述的相同的活動順序。他們將提供所有所需的材料，如白色和彩色燧石粉、工作表、鉛筆、蠟筆、豆子、線、尺子和平面口袋鏡。4. 參與討論工具、方法和課程的優點和缺點。四至六人的方桌或圓桌是這個工作坊最理想的佈置。
參考文獻
[1] Bapat, Madhuri; RangoLee-A step by Step Learning; 2007.
[2] Bapat, Madhuri; Mathematics in RangoLee art from India. Proceedings of Bridges, pp 429-432, 2008.
[3] Ascher, Marcia; The Kolam Tradition; American Scientist, 2003.
[4] Chavey, Darrah; Wallpaper Designs of Mirror Curves Inspired by African Sona. Proceedings of Bridges, pp 345-352, 2013.
[5] Nagata, Shojiro et. el; Fundamental Study on Design System of Kolam Pattern. Forma, 22, 31-46, 2007.
[6] Demaine, Eric et.el; Sand Drawings and Gaussian Graphs. Proceedings of Bridges, pp 79-88, 2006.
[7] Subramanian, K.G.; Saravanan R.; Robinson T.; P Systems for Array Generation and Application to Kolam Patterns. Forma, Vol. 22, 47-54, 2007.
[8] Geevarghees, Joseph George; David, Nelson; Julian, Williams; Multicultural Mathematics; Oxford University Press, pp 1-24, 143-174. 1993.
[9] Gerdes, Paulus; Geometry from Africa: Mathematical and Educational Explorations. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. 1999.
[10] Madhuri Bapat, Use of RangoLee Art in Elementary Mathematics Education
青山不改，綠水長流，在下告退。
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