Mathematica例項——利用Mathematica演示量子力學中的波包演化

1背景介紹

在量子力學中，一個粒子對應一個在時空中演化的波函式

，與經典力學中僅僅具有質量、位置、速度等屬性的點粒子有很大不同。這種"波粒二象性"常常給初學者帶來理解上的困難。我們利用Mathematica軟體對一維情形下的幾個經典量子力學問題進行了數值模擬，包括高斯波包在自由空間的傳播和擴散、遇到剛性邊界時的反射、遇到勢壘或勢阱時的反射和透射，以及在諧振子勢場中的準經典振動。Mathematica具有強大的符號和數值計算功能，以及簡單易用的Manipulate控制元件，這使得我們可以快速實現程式碼並方便地演示結果。我們將展示量子波包在不同勢場中隨時間的演化，這有助於對量子力學的物理影象和基本概念的理解，也為更進一步的探索提供啟發。

2物理模型和模擬設定

一維空間中，單粒子波函式

的動力學由薛定諤方程

描述。在給定空間勢場

和初始波函式

後，波函式的後續演化就完全確定了。為了方便，這裡我們取“自然單位”，將方程中的物理常量

和

取為1。這樣，方程變成

，取最簡單的一階尤拉格式，可以寫出差分方程

，當時間步長

足夠小，差分方程的迭代就可以近似給出薛定諤方程的解

。其中，對空間的二階偏導

也要用差分格式

來代替。公式(2)(3)就是數值模擬用到的核心方程。

在模擬中，我們使用高斯波包作為初始波函式。一個歸一化的高斯波包可以寫成

。容易看出，

的機率密度

是以

為中心，以

為方差的高斯分佈。實際上，其動量表象波函式也具有對稱的形式，機率密度|

是以

為中心，以

為方差的高斯分佈。因此，高斯波包具有明確的物理意義，我們可以把它大致想成一個具有座標

，動量

的“準經典”粒子，只是其座標和動量的分佈有一定的彌散，體現了量子力學中的不確定原理。我們可以期待它的演化行為既具有一定的“經典性”，也有一定的“量子性”，從而更好地體會量子力學與經典力學的區別和聯絡。

為了進行模擬，我們需要合理的邊界條件。我們將高斯波包置於區間

中，認為區間之外的波函式為零，這相當於把粒子放在

的一維盒子中。可以預期，當波包的空間局域性較好，且波包中心距離邊界較遠時，波包的演化與其在自由空間中的演化差別不大，模擬結果也證實了這一點。另外，我們可以對模擬過程涉及的一些特徵尺度進行估計。高斯波包具有特徵波長

，因此空間離散步長

需要滿足

；其特徵能量

，在設定勢場

時應以

作單位；同時，特徵能量也給出一個內稟時間尺度

，時間離散步長

至少要滿足

，考慮到一階尤拉格式的穩定性較差，

需要進一步減小，以迭代穩定為準（可以用波函式是否保持歸一化來判斷迭代的穩定性）。最後，我們設定波包中心初始位於

，並觀察其大致移動到

這個過程，這樣一來，時間視窗

，迭代次數

。

3程式設計和程式碼實現

利用Mathematica，我們可以得到非常簡潔的程式碼實現。值得注意的是，在處理差分方程時，需要把波函式的實部和虛部分開迭代，才能保證穩定性，也就是需要避開復數的計算。我們猜測這與一階尤拉格式的穩定性較差有關。如果改進差分格式，應該可以直接用複數進行計算。

在上面我們已經得到了一系列波函式機率分佈的“快照”（每迭代200步記錄一次），使用Mathematica的Manipulate控制元件，可以很方便地將結果演示出來。

上面的程式碼會生成一個可以拖動的動態互動控制元件，我們可以方便地看到不同時刻的波包形態。

4結果演示與討論

(1)波包在自由空間的傳播和展寬

取

，波包就在自由空間傳播，演化過程如下圖所示。我們可以看到波包基本上呈勻速移動，並且在傳播過程中不斷展寬。

實際上，自由空間中的

可以嚴格解出，容易得到波包的中心位置

，波包的方差變化

。我們可以把數值結果與理論解進行比較，可以發現還是符合得比較好的，如下面所示。兩者之間的偏差可能來自於邊界條件的影響。

(2)波包遇到剛性邊界時的反射

在

處設定一個剛性邊界，例如取

時

，

時

，可以看到波包在遇到邊界時強烈震盪，然後被反射回來。仔細觀察可以看出，波包差不多回到原來的位置，說明這個過程中波包的動能沒有變化，只是動量反號。

(3)勢壘的散射（隧穿效應）

在

處放置一個寬為

，高為

的勢壘，可以觀察到波包與勢壘的散射。可以看到，波包與勢壘相互作用後，最終劈裂成了兩部分，一部分是透射波包，繼續向前傳播，另一部分是反射波包，反向傳播回來。這就是量子力學中的隧穿效應，粒子有一定機率越過勢壘，發生隧穿。如果改變勢壘的形狀，還可以進一步研究隧穿機率與勢壘形狀的關係。

(4)勢阱的散射

我們將勢壘改成勢阱，就得到波包與勢阱的散射問題。這裡是在

處放置了寬為

，深為

的勢阱，可以看到，波包遭遇勢阱後發生劈裂，最後也是分成透射波包和反射波包。這表明了量子力學的一維散射問題的一般性：不論是勢壘還是勢阱，對量子波包來說都像一個“障礙物”，有一定的透過率和反射率。這與經典力學是很不相同的，在經典力學裡，一個粒子要麼動能高於勢壘而透過勢壘，要麼動能不足被勢壘反射回來，而勢阱則根本不會成為障礙物。

(5)波包在諧振子勢中的準經典運動

令

，我們就得到了非常熟悉的諧振子勢。非常有意思的是，在諧振子勢中，波包表現得很像“真正的”經典粒子：不但在做週期性振動，而且波包本身不再隨著時間增加而展寬，其局域性得到了很好的保持，而局域性正是經典粒子的重要特性。這種準經典運動的發生並不是顯而易見的，背後有著非平凡的物理，實際上，我們可以認為諧振子勢和高斯波包都具有某種特殊性，它們的“因緣際會”才導致了這一現象的發生。

5總結

透過這個簡單的模擬，我們可以看到很多有趣的量子物理現象。由於本文的初衷不是要探討物理問題，這裡沒有進行深入討論。實際上可以研究的情形還很多，比如週期性結構對波包的調製（濾波）。總之，Mathematica是非常好用的計算和演示工具，特別適合實驗性的探索和快速的原型設計，推薦大家多玩多探討！

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