五、理想流體的研究（18世紀）
1）18世紀研究概述
人們對自然界的研究一般是從簡單開始的，逐漸過渡到複雜情況；就流體力學的發展而言，也是如此。為了化繁為簡，18世紀的科學家做了很多的簡化。那時人們認為像水和空氣這樣的流體，黏性很小，對阻力的貢獻可以忽略；將流體都看作是理想流體，不考慮流體內部的黏性。
18世紀，伯努利、尤拉、克萊洛（1713-1765，法國數學家，1734年提出克萊洛方程，1738年，克萊洛根據離心力加速度、赤道重力和兩極重力推算出地球扁率的關係式，即“克萊洛定理”，法國科學院院士）等人正式將流體力學作為一個分支學科。拉格朗日和拉普拉斯也為不可壓縮流體無旋流動做出了貢獻。
2）伯努利原理的提出
伯努利原理的提出者是瑞士人丹尼爾·伯努利，他用能量守恆定律解決流體的流動問題。1726年他在研究理想液體作穩定流動時提出了伯努利原理並建立了“伯努利方程”，是流體動力學的基本方程，它反映了理想液體作穩定流動時，壓強、流速和高度三者之間的關係。該方程在確定流體內部各處的壓力和流速有很大的實際意義，在水利、造船、航空等部門有著廣泛的應用。
他還發現了“邊界層表面效應”：流體速度加快時，物體與流體接觸的介面上的壓力會減小，反之壓力會增加；稱為“伯努利效應”。飛機機翼的上表面是流暢的曲面，下表面則是平面。這樣，機翼上表面的氣流速度就大於下表面的氣流速度，所以機翼下方氣流產生的壓力就大於上方氣流的壓力。這個壓力產生的力量是巨大的，空氣能夠托起沉重的飛機，就是利用了伯努利效應；這個壓力的大小可以用伯努利方程去計算。
伯努利在流體力學中建立的“伯努利方程”及“內壓”概念是有漏洞的，他的父親約翰和好友尤拉在這方面作了改進。1752年，尤拉推匯出了伯努利原理的一般表示式，但這個方程式只能描述流體沿著流線的變化規律，而複雜幾何體周圍的流線也是異常複雜的，所以很難透過其求解一般幾何體的受力問題。
3）尤拉方程組
瑞士人尤拉奠定了理想流體（假設流體不可壓縮，且其粘性可忽略）的運動理論基礎，給出反映質量守恆的連續性方程（1752年）和反映動量變化規律的流體動力學方程（1755年）。他曾用兩種方法來描述流體的運動，即分別根據空間固定點（1755年）和根據確定流體質點（1759年）描述流體速度場；這兩種方法通常分別稱為“尤拉表示方法”和“拉格朗日表示法”；目前流體力學一般用尤拉法描述流體的流動。
尤拉在1757年獲得了伯努利方程的更廣義的形式，即尤拉方程組。他採用了連續介質的概念，把靜力學中壓力的概念推廣到運動流體中，建立了尤拉方程組，正確地用微分方程組描述了無黏流體的運動。尤拉方程組這個在尤拉和伯努利通訊中誕生的方程，竟在無意中打開了理想流體力學的大門。
嚴格來說，尤拉方程組只包含兩個方程，一個動量守恆方程和一個質量守恆方程，包含了從阿基米德到1757年近兩千年來人類對流體力學的所有認知，充分地體現了物理學的簡潔美。尤拉方程至今仍應用於空氣動力學和水波等理論，它是理想無黏流體的基本方程。
尤拉方程表明，由液體的內部壓力可以模擬液體微粒的運動方式，反過來由速度也可以解出內部壓力。而遺憾的是，由於是非線性方程，尤拉方程組在提出之時是沒有辦法求解的，尤拉自己也沒有獲得這個方程組的一般解，即使用今天的電子計算機來求解也很困難。伯努利方程可由尤拉方程做出化簡後積分得到。
4）流體力學學科的正式形成
“尤拉方程”和“伯努利方程”的建立，是流體力學成為一個分支學科的標識，從此開始了用微分方程和實驗測量進行流體運動定量研究的階段。這個時期科學巨匠們的研究成果此起彼伏，不斷推動流體力學的進展。尤拉和伯努利是流體力學研究中的理論派；此外還有拉格朗日和拉普拉斯，他們對於理想流體也作出了巨大貢獻。
法國人拉格朗日主要研究流體的無旋運動，繼尤拉之後，他也研究過理想流體的運動方程，並最先提出速度勢和流函式的概念，成為流體無旋運動理論的基礎。他從動力學普遍方程匯出流體運動方程，著眼於流體質點，描述每個流體質點自始至終的運動過程，這種方法現在稱為“拉格朗日法”，以區別著眼於空間點的“尤拉法”。
而拉普拉斯也在流體的無旋運動方面做了貢獻。1799年他提出了大名鼎鼎的拉普拉斯方程，這是表示液麵曲率與液體壓力之間的關係的公式，是不可壓縮流體無旋流動的連續性方程；該方程至今仍在廣泛運用。
在十八世紀末期的研究當中，人們漸漸發現尤拉方程組可以拆分成兩個更簡潔的方程式進而分別求解，即伯努力方程和拉普拉斯方程。拉普拉斯在提出這組方程的時候已經指出了方程的解是一種特殊的函式，即調和函式。同時他還指出所有拉普拉斯方程的看似複雜的解空間其實是由幾種調和函式線性疊加而成的。科學家們透過複變函式理論作為工具求解了拉普拉斯方程，從而順利地將關於圓柱繞流的尤拉方程解決了。與伯努利方程類似，它也是尤拉方程的另一個簡化版。
5）18世紀研究特點
尤拉、伯努利被公認為是18世紀理論流體力學的代表性人物，其中伯努利被稱為“流體力學之父”。儘管尤拉、伯努利等人做了很多努力，但由於沒有考慮牛頓提出的流體黏性，無法闡明流體中黏性的影響，理論結果與實驗結果相去甚遠，而過於精細的方程又無法求解。
現實生活中不存在無黏性的流體，即使黏性非常小的流體，對其中運動的物體都會起重要的作用，因為黏性會使流體在物體表面產生切向應力，即摩擦阻尼；後來普朗特提出的“邊界層理論”較好地解釋了阻力產生的機制。總之，18世紀的研究主要是針對理想流體，不考慮流體的黏性。
六、流體力學研究的高潮期（19世紀）
在科學研究中，流體力學家們逐漸分化成了兩派：支援繼續進行純理論推導的流體理論派和支援採用半理論半實際測量的實驗派。兩派相互爭辯，共同促進了流體力學的進步。
1）對氣體的研究
大約在1787年，法國人查理透過實驗研究氣體的膨脹性質，發現在壓力一定的時候，氣體體積的改變和溫度的改變成正比。查理沒有發表他發現的這個結論，而是由蓋·呂薩克參考他的研究結果後於1802年發表了“氣體質量和壓強不變時體積隨溫度作線性變化的定律，即V1/T1=V2/T2”，叫做蓋·呂薩克定律。
查理進一步發現，對於一定質量的氣體，當體積不變的時候，溫度每升高l℃，壓力就增加它在0℃時候壓力的1/273；即P = P0(1+t/273)。後來，物理學上就把氣體質量和體積不變時壓強隨溫度正比變化的定律叫做查理定律，數學形式為：P1/P2=T1/T2。他還推算出氣體在恆定壓力下的膨脹速率是個常數；這個預言後來由蓋·呂薩克和英國人道爾頓的實驗完全證實。
1834年，法國人克拉佩龍將波義耳、馬略特、查理和蓋·呂薩克的工作結合起來，把描述氣體狀態的三個引數：壓強、體積和溫度歸於一個方程；即一定量氣體，體積和壓力的乘積與熱力學溫度成正比，被稱為克拉佩龍方程，確定了純物質在氣液兩相平衡時的壓力與溫度間的關係；這就是著名的理想氣體狀態方程：PV=nRT，n為物質的量，R是氣體常量，約為8.31441±0.00026J/(mol·K）。
理想氣體狀態方程也叫做普適氣體定律，是由研究低壓下氣體的行為匯出的。但各氣體在適用理想氣體狀態方程時多少有些偏差；壓力越低，偏差越小，在極低壓力下理想氣體狀態方程可較準確地描述氣體的行為。
總之，19世紀對氣體的研究取得了重大進展，壓力、體積、溫度和物質的量之間的關係弄明白了，適用於日常絕大多數低壓情況；這對於流體力學的進一步發展尤其是空氣動力學的研究奠定了堅實的理論基礎。
2）N-S方程組的提出
19世紀，工程師們為了解決許多工程問題，尤其是要解決帶有黏性影響的流體問題。於是他們部分地運用理論，部分地採用歸納實驗結果的半經驗公式進行研究，這就形成了水力學，是流體力學的一個組成部分。
18世紀中期，法國人達朗貝爾就曾按照牛頓的研究思路，用水中的船隻作了實驗，證明了流體中的黏性阻力與物體運動速度成平方關係；他被認為第一次引入了流體速度和加速度分量的概念。1822年，法國人納維推廣了尤拉方程，他考慮了分子間的作用力，最早使用了微分方法建立了不可壓縮黏性流體平衡和運動的基本方程，方程中只含有一個黏性常數。
1845年，英國人斯托克斯從連續統的模型出發，引入兩個黏性係數，建立了黏性流體運動的基本方程組。這些方程通常被稱為“納維-斯托克斯方程”（N-S方程組）。尤拉方程正是N-S方程在黏度為零時的特例。
儘管N-S方程組也只是一個近似的描述，但仍然使理論流體力學向前跨進了一大步，可謂進入了流體力學史上第一個巔峰時刻。N-S方程組是流體力學中最基本的方程組；是對於過去流體力學歷史的總結，也是未來流體發展的驚人預言，近現代理論流體力學的研究紛紛以N-S方程組為原始出發點。
斯托克斯在對流體動力學進行研究時，推匯出了在曲線積分中最有名的“斯托克斯定理”；在流體力學中，當封閉周線內有渦束時，則沿封閉周線的速度環量等於該封閉周線內所有渦束的渦通量之和。1851年提出“黏滯度定律”，即“斯托克斯定律”，指明阻力與流速和黏滯係數成比例，這是關於阻力的公式——F=6πηυR；式中，R是球體的半徑，υ是它是相對於液體的速度，η是液體的粘滯係數；斯托克斯大大發展了流體動力學，斯托克斯定理向湍流邁進了一大步，而黏滯度定律則將黏性考慮到了實際流體中。
3）流體速度測試
1732年，法國著名工程師亨利·皮託，受命測量法國著名的塞納河河水的流速，在此過程中他發明了皮托管用於測量該河流中流體的流速。皮托管主要測量某給定點的區域性速度而不是整條管線的平均速度。早期的皮托管只負責測量總壓，因此又被稱為總壓管，而靜壓的測量是與總壓分開進行的。皮托管測量出壓力，再用伯努利原理算出流體的速度。
1858年法國水利工程師亨利·達西（1803-1858）對皮托管做了重要的改進。他發明了沿著流動方向放置的靜壓管，透過側壁開孔達到測量流動靜壓強的目的，將靜壓和總壓的測量整合到了一起，形成了完整的速度測量所廣泛使用的現代皮托管。他根據伯努利原理確立了新的測速管的計算公式，且新測速管的結構與現在使用的測速管非常接近。達西利用測速管測量了管道和明渠介面上的流體速度分佈，歷史上首次實現了對流場內部結構的測量；提高了人們對湍流流場特性的認識。
達西在流體力學理論研究上也做出了重要貢獻，比如提出了著名的管道流動達西公式，為建立現代管道流動理論提供依據；還提出了達西滲流定律，奠定了滲流力學基礎，該定律在城市供水系統中得到了實際應用。此外，還有達西-威斯巴哈方程式是流體力學中的唯象方程式，得名自達西和尤利烏斯·威斯巴哈，此方程式描述固定長度管路內因摩擦力產生的揚程損失（壓強損失）和管路中的平均流速的關係。
4）向湍流過度
1858年德國人亥姆霍茲提出了“亥姆霍茲渦量定理”，這是流體力學中有關渦旋的動力學性質的一個著名定理。它指出，在無黏性、正壓流體中，若外力有勢，則在某時刻組成渦線、渦面和渦管的流體質點在以前或以後任一時刻也永遠組成渦線、渦面和渦管，而且渦管強度在運動過程中恆不變。他還研究了流體力學中的渦流、海浪形成機理和若干氣象問題。
1864-1867年，馬赫提出了馬赫數，成為流體力學中的一個常用概念，即物體（如飛機）在空氣中的運動速度與聲音在流體中的速度之比；又有細分多種馬赫數，如飛行器在空中飛行使用的飛行馬赫數、氣流速度之氣流馬赫數、複雜流場中某點流速之區域性馬赫數等等；至今已成為表徵流體運動狀態的重要引數。
1869年愛爾蘭人開爾文提出了流體力學中的一個著名定理——“開爾文環量定理”，內容是：在無黏性、正壓流體中，若外力有勢，則沿由相同流體質點組成的封閉曲線的速度環量在隨體運動過程中恆不變。亥姆霍茲定理和開爾文定理合在一起全面地描述了在無黏性、正壓、外力有勢這三個條件下流體中渦旋的隨體變化規律。
很多重要流體現象都可以用此定理來解釋；比如位勢流。位勢流在流體力學中發展得早而成熟，從尤拉就開始研究，這是因為相應的數學問題比較簡單。數學分析有一命題，旋度在一個區域中為零同這個區域中流動有速度勢是相互等價的；因此，位勢流又叫無旋流。從18世紀開始，人們用位勢流的方法成功地反映了漣波、潮汐波和聲波的規律。19世紀中期又弄清無黏流體的理論可以允許一部分流體是有旋的（如渦環），而包圍這部分有旋流的卻可以是位勢流。並且，如果知道了有旋流部分的旋度分佈，就可以算出位勢流部分的速度場。
此後，由於位勢流理論有了很大進展，在水波、潮汐、渦旋運動等方面都闡明瞭很多規律。究竟在什麼條件下會出現位勢流，這是由開爾文證明了環量守恆定理後才比較清楚了，滿足該定理的流體就是位勢流。可見，位勢流的出現會是廣泛的；但切向間斷和邊界層是兩種產生渦旋的原因(見渦旋)都不能用位勢流理論來描述。
他進一步提出了“開爾文最小能量定理”——流體力學中有關不可壓縮無黏性流體運動的一個定理；該定理揭示，在定理所作的假設下，無旋運動由於具有最小能量因而成為最優的運動形態，從而加深了對無旋運動特性的瞭解。而“開爾文——亥姆霍茲不穩定性”理論，可預測不同密度的流體在不同的運動速度下的不穩定狀態發生以及層流變成湍流的界限。
5）湍流的發現
義大利人雷諾做了著名的雷諾實驗，1883年，雷諾在管流實驗中發現，管道中流體的流動可以呈現兩種截然不同的流態——層流和湍流；但直到今天，湍流的真正形成機制仍然是一個謎團。他提出了流體慣性力與黏性力比值的量度——雷諾數作為判斷層流和湍流的資料；此外他還在理論上做出了貢獻，提出了雷諾方程（黏性不可壓縮流體作湍流運動時﹐流場中的瞬時參量壓力和速度分量，仍舊滿足N-S方程）和雷諾傳輸定理（可用來定量地描述流場中流體性質的變化）。他與達西一起被稱為19世紀實驗流體力學的代表性人物。
19世紀，人們加大了對流體力學這門非常實用的學科的關注，很多理論和實驗物理學家以及工程師都在該領域做了卓有成效的工作。從氣體到液體，從
理論到實驗和檢測，都有了重大突破；最典型的進展是納維-斯托克斯方程的建立，在流體中引進了黏性。其次是在氣體理論上，建立了理想氣體的狀態方程——克拉佩龍方程，為氣體以及空氣動力學的研究奠定了堅實的基礎。第三個進展是提出了雷諾數，用於判斷層流和湍流，併為20世紀的流體力學出了題目——湍流的本質和運動規律。
