在之前的2篇文章《地球上為什麼會出現四季交替現象？(1)》、《地球上為什麼會出現四季交替現象？(2)-如何用數學進行定量分析？》中，我們已知知道了地球出現四季交替現象的主要原因是地軸與天黃道垂直的方向間有一個23.5°的傾斜角，並且透過數學計算，我們發現夏至日、冬至日正午時刻，不同緯度地區接受到的太陽光能量差異很大。
地球四季光照圖，拍攝於上海天文館
地軸傾角示意圖，圖片來源於網路
另外，我們還知道地軸與天黃道垂直的方向間有一個23.5°的傾斜角也會導致夏季白天時間更長，冬季夜晚時間更長，而這也進一步導致了夏季吸收的太陽光能量多，冬季吸收的能量少。
那麼，不同緯度地區，夏季白天時長差異究竟有多大呢？
下面讓我們用數學模型來定量分析這個問題，為了便於分析，我們選取北緯45°地區，分析夏至日和冬至日這兩天的白天時長究竟有多大。
一、夏至日北緯45°地區白天時長
上圖是夏至日太陽光照射圖，從圖中我們可以得到以下資訊:
1、DH連線為地球地軸，地球繞著地軸自轉;
2、地球EL連線右側區域能接受到陽光，左側區域接受不到陽光;
3、在北緯45°地區，也就是圖中的FC連線區域，其中直線EL右側區域aC能照射到陽光，左側區域Fa無法照射到陽光。很明顯aC的長度已經大於bC的長度，這也意味著，夏至日這天，白天比黑夜長;同理，我們可以分析出，在赤道地區，在夏至日這天，白天與黑夜時長相等。
4、地球北緯45°區域會繞著地軸DH自轉，其中b點為自轉圓心，Fb和bC為自轉圓圈的半徑;
5、假設地球半徑為R，北緯45°區域自轉半徑為r，那麼會有以下關係:
①OC=R，bC=r=R*cos45°;
②ab=Ob*tan23.5°=R*sin45°*tan23.5°。
有了上面這些資訊，我們便能分析出夏至日這天，北緯45°地區白天的時長。
上圖是北緯45°地區夏至日這天的陽光照射模型，從模型中我們能看到以下資訊:
①圓FdCe為北緯45°地區繞地軸自轉的圓，其中b點為圓心;
②透過之前的分析，我們已經知道圓弧dCe能被陽光照射到(白天)，圓弧dFe無法照射到陽光(黑夜);
③透過前面的計算，我們已經知道:
bC=R*cos45°;
ab=R*sin45°*tan23.5°;
又db=bC，所以db=R*cos45°。
有了上述這些資訊，接下來我們只需要計算出∠dbe的大小就能計算出黑夜以及白天的時長，因為∠dba等於角dbe的一半，所以接下來我們只需要計算出∠dba的大小。
在直角三角形dba中:
cos∠dba=ab/db=R*sin45°*tan23.5°/(R*cos45°)=tan45°*tan23.5°=0.4348
透過查詢餘弦函式表，我們可知:
∠dba≈64°
因為∠dba≈64°，所以∠dbe≈128°。
我們知道地球自轉一週(360°)的時長是24小時，也就是每小時自轉15°(360°/24)，上圖中圓弧dFe區域無法照射到太陽光，處於黑夜狀態。現在我們已經計算出∠dbe=128°，那麼夜晚的時長就能計算出來，為8.53小時(128/15=8.53)，白天的時長為15.47(24-8.53)小時。
這也意味著北緯45°地區，在夏至日這天，以當地經度時間(非北京時間)進行考慮，日出時間為早上4點26分左右，日落時間為晚上7點34分左右。
如果想知道某地北京時間的日出日落時間，只需調整當地經度時間與北京經度時間之間的差值就可以了。
我們知道，北京時間取自東經120°地區時間。地球每小時自西向東自轉15°，如果某地緯度正好是北緯45°，經度為東經135°，那麼該地的北京時間就較自己當地時間少1小時，也就是說該地夏至日這天的日出時間為早上5點26分左右，日落時間為晚上8點34分左右。同理，如果是東經105°地區，那麼該地的北京時間就較自己當地時間少1小時。
二、冬至日不同緯度地區白天時長
同理，根據之前的分析方法，我們建立模型，如上圖所示，從中我們可以獲知以下資訊:
1、我們知道在北緯45°地區，也就是圖中的CF連線區域，其中EL連線左側區域Ca能照射到陽光，右側區域aF無法照射到陽光。很明顯Ca的長度已經小於aF的長度，這也意味著，在冬至日這天，白天時長比黑夜時長短。
2、假設地球半徑為R，北緯45°區域自轉半徑為r，那麼會有以下關係:
①OC=R，bC=r=R*cos45°;
②ab=Ob*tan23.5°=R*sin45°*tan23.5°。
上圖是北緯45°地區夏至日這天的陽光照射模型，從模型中我們能看到以下資訊:
①圓FdCe為北緯45°地區繞地軸自轉的圓，其中b點為圓心;
②透過之前的分析，我們已經知道圓弧dCe能被陽光照射到(白天)，圓弧dFe無法照射到陽光(黑夜);
③透過前面的計算，我們已經知道:
bC=R*cos45°;
ab=R*sin45°*tan23.5°;
又db=bC，所以db=R*cos45°。
有了上述這些資訊，接下來我們只需要計算出∠dbe的大小就能計算出黑夜以及白天的時長，因為∠dba等於角dbe的一半，所以接下來我們只需要計算出∠dba的大小。
在上圖直角三角形dba中:
cos∠dba=ab/db=R*sin45°*tan23.5°/(R*cos45°)=tan45°*tan23.5°=0.4348
透過查詢餘弦函式表，我們發現:
∠dba≈64°
因為∠dba≈64°，所以∠dbe≈128°。
我們知道地球自轉一週(360°)的時長是24小時，也就是每小時自轉15°(360°/24)，上圖中圓弧dFe區域能照射到太陽光，處於白天狀態。現在我們已經計算出∠dbe=128°，那麼白天的時長為8.53小時(128/15=8.53)，黑夜的時長為15.47小時。
這也意味著北緯45°地區，在冬至日這天，以當地經度時間(非北京時間)進行考慮，日出時間為早上7點34分，日落時間為下午4點26分左右。
三、總結
從北緯45°地區夏至日與冬至日的白天時長的對比中，我們發現:
1、夏至日白天時長等於冬至日黑夜時長;
2、夏至日白天時長較冬至日白天時長多出6.94小時(15.47-8.53)
白天時長越長，意味著白天接收到的陽光時長更長，熱量更高，這也是夏天炎熱，冬天寒冷的另一重要原因。
大家也可以運用上面的方法分析自己所處位置不同日期白天與黑夜的時長，只需要修正自己所處經度時間與北京時間的差異，就能計算出任意哪一天日出時間與日落時間了。
估計大家心裡會有疑惑:夏至與冬至日正午時刻，太陽光的直射地球的緯度值(北緯23.5°、南緯23.5°)是已知的，能分析出不同地區這兩天白天黑夜時長很正常，但是如果換作其它任意一天，我們是不知道太陽光直射的緯度值的，那又該怎麼辦呢？
不要急，我們可以按照下面方法粗略確定太陽光正午直射的緯度值:
①在春分日(3月20日)，太陽光正午時刻直射赤道(0°)地區，太陽光與地軸夾角為90°;在夏至日(6月21日)，太陽光正午時刻直射北迴歸線(北緯23.5°)，太陽光與地軸夾角為66.5°。那麼從春分日開始，直至夏至日這天，這期間總共93天時間，我們可以認為，正午時刻太陽光直射地區的緯度值是均勻增加的，也就是每天增加0.2527°(23.5°/93)。這樣我們就能按照之前的分析方法計算出這期間任意一天任意地方的日出日落時間，以及白天黑夜的時長。
②同理，其他日期，正午時刻，太陽光直射地區的緯度值也可以計算出來。接著按照之前的分析方法，可以計算出任意日期任意地方的日出日落時間，以及白天黑夜的時長。
好了，這一講就到這裡了。
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