許多人都應該聽說過“蟲洞”，無論是從科幻角度可穿越時空的遐想，亦或是從理論物理學前沿的學術新聞裡感到不明覺厲，可蟲洞究竟是什麼？它如何成為連線時空的結構，只是物理學家的玩具嗎？事實上，近年來在量子引力的研究中，蟲洞潛藏著我們仍未發現的深意。
撰文 | 安宇森
蟲洞（wormhole）是一種神奇的時空結構，同時物理學的研究也愈加證明，蟲洞是連線量子理論和引力理論的鑰匙。本文擬從洛倫茲（包含時間和空間）蟲洞和歐幾里得蟲洞兩個方面，來介紹蟲洞這一基本概念，及其在理論物理學中的作用。
洛倫茲蟲洞
首先，我們介紹洛倫茲蟲洞。洛倫茲蟲洞是時空中可能存在的蟲洞結構，它是真實存在的物理客體。
關於⾍洞最早的研究啟發⾃卡爾·薩根的⼩說《接觸》（Contact），這本⼩說也被成功的影視化了，由羅伯特·澤⽶吉斯指導的同名影⽚《超時空接觸》（Contact）⼴受好評。在最初⼩說的原稿中，作者利⽤⿊洞來實現時空隧道。但是其好友Kip Throne卻表⽰擔憂，作為研究⼴義相對論的⼤家，他很清楚⿊洞是很難作為時空隧道這種結構的。但是這激發了Kip Throne的研究興趣，從⽽後來開展了最初關於⾍洞的⼀系列研究。
蟲洞和能量條件
時空穿越是科幻愛好者⼀個永恆的興趣，⽽可穿越的⾍洞似乎是實現它的⼀個很好的路徑。因此⾍洞研究的⼀個重要的⽅⾯，即研究它的可穿越性。通常的⼴義相對論研究中，都是知道⼀個物質分佈，然後研究這個物質分佈會給出的時空形狀；然⽽蟲洞研究中，物理學家的⽬的是實現特定的時空形狀——因此Morris和Throne考慮反其道⽽⾏之，先給出關於時空結構的限制，然後再透過愛因斯坦場⽅程進⾏物質分佈的求解。
最初的計算是在球對稱座標系下進⾏的，他們發現如果要想滿⾜特定的⾍洞時空結構，那麼所需要的物質分佈⼀定是違反能量條件的，通俗地來講，需要引⼊奇異的負能物質[1]。這件事情可以透過測地線匯的辦法很⾃然地看出來。⼀般在⼴義相對論中，為了探究時空的⼀些性質，透過測地線匯的變化可以在不解愛因斯坦⽅程的情況下，就能夠得出⼀些結論。例如這⾥，如果需要⼀個⾍洞結構連線兩個不同的時空區域並可實現穿越，那麼透過它的光線需要先匯聚到⾍洞的喉部（即蟲洞結構中的最窄處），再從喉部發出。廣義相對論中，光線的匯聚還是發散，可以透過類光測地線匯的膨脹給出，描述它的方程通常叫作Ray-Chaudhuri⽅程，方程如下：
我們可以選擇，滿⾜旋轉和剪下都為0的線匯，σ=ω=0，這樣根據透過⾍洞的線匯的特徵，可知在⾍洞的喉部⼀定存在 dθ/dλ=0 的位置，這暗⽰瞭如下的⽅程
再根據⼴義相對論可知
這便破壞了類光能量條件，因此⾍洞的存在⼀定需要在它的喉部引⼊負能量的奇異物質。
這種奇異物質的引⼊讓⾍洞的構造變得⾮常困難，這種違反類光能量條件的物質⼀般只有量⼦理論中才會允許，且通常⼗分微⼩。同時如果滿足⾍洞可以透過，我們還需要考慮⾍洞作用於⼈體所產生的潮汐⼒效應，在⼈體可以忍受的潮汐⼒的條件之下，理論預⾔⾍洞將會⾮常巨⼤，⽽這麼巨⼤的空間都存在奇異物質將其⽀撐，顯得更為困難。不過，或許正如科幻⼩說《三體》幻想的那樣，⽆限發達的⽂明可以在物理定律允許的條件下，不受技術壁壘的限制做到任何事情——建造⾍洞這種事情仍然可以暢想。
蟲洞與時間機器
既然⾍洞可以看作宇宙中連線遙遠兩點之間的近路，那麼或許⾍洞可以被改造為時間機器。[2]在時間機器的討論中，我們忽略⼀些細節，只把⾍洞看成是連線時空中（t, 0)和（t, L）兩點之間的機器，⾍洞的入口對應(t,0)，⽽出口對應(t,L)。如果我們讓出口相對於入口進⾏⾼速運動，那麼根據狹義相對論的鐘慢效應（如雙⽣⼦佯謬），出口和⼊口之間就會形成⼀個時間差T；然後我們縮短空間距離L為0，讓出口和⼊口迴歸⼀點，那麼從⼊口到出口，時間就會發⽣⼀個T的躍變，⽽這就完成了穿越到過去或者未來的操作。這便是透過⾍洞構建時間機器的⼀個最簡化的版本。
時間機器或許相⽐於⾍洞，更能激發⼈們的興趣，因為⼈⽣總是充滿著各種各樣的遺憾。當⼈⽣⾏⾄暮年，也有各種各樣的悔恨，時間機器或許就可以給⼈⼀次重新來過的機會，來彌補這些遺憾。因此⽆數悽美動⼈的愛情故事，都可以在此背景下鋪展開來。
然⽽時間機器的出現會引發很多因果性上的難題，因此在⼤多數時候，時間機器只被看作是玩鬧，⽽⾮正經的科學研究課題。或許“⾃然憎惡時間機器”，⽽物理學家們需要做的就是找到相應的物理原理，來證明時間機器不可能被製成。
蟲洞與量子糾纏
1997年，Maldacena帶著他的AdS/CFT原始論⽂，給理論物理學界炸響了⼀顆驚雷，從此越來越多的學者開始研究引⼒的全息性質。[3]後來，基於Maldacena 2001年的論⽂結論[4]，Raamsdonk⾸先透過簡單的論證發現，⾍洞和量⼦糾纏具有本質聯絡，即ER=EPR猜想。[5](ER=EPR這個名號，是2013 年經Susskind和Maldacena的⼯作正式提出，⽬的是解決⿊洞的⽕牆問題[6]。) ER指代愛因斯坦-羅森橋，它是連線兩個⿊洞之間的區域，可以看作是⾍洞研究的前⾝。不過它是不可穿越的，任何穿越愛因斯坦-羅森橋的舉動，都不可避免的落⼊⿊洞奇點。EPR指代的則是量⼦糾纏。
愛因斯坦-羅森橋丨圖⽚來源：arXiv: 2110.14958
下⾯我們簡單介紹這⼀觀點，2001年，Maldacena的研究⼯作發現，量⼦場論中的熱場⼆重態TFD
對應於⼀個相應的AdS史⽡西⾍洞，它的彭羅斯圖和史⽡西⿊洞的最⼤解析沿拓的彭羅斯圖一致。當然，如果盯著彭羅斯圖的某個空間截⾯來看，它可以理解為兩個透過中間的⾍洞結構連線的⿊洞。
熱場⼆重態和史⽡西⿊洞的對應丨圖⽚來源：arXiv: 1005.3035
⼈們發現，這個熱場⼆重態是⼀個糾纏態，⽽調節溫度（也就是這⾥的β) ，就對應於調節了左右兩邊的糾纏。當溫度很低時，上⾯的糾纏態會變成沒有糾纏的直積態；當溫度很⾼時，它會成為最⼤糾纏態。研究發現，隨著溫度從高到低的變化，蟲洞結構中間的喉會逐漸變窄直⾄斷開。因此我們發現從邊界理論的視⾓來看減⼩糾纏的這個操作，對應於減⼩兩個⿊洞之間連線⾍洞的⼤⼩。因此這暗⽰了量⼦糾纏和⾍洞具有深刻的聯絡，甚⾄於說它們本質上即是⼀回事。
⾍洞的形狀隨著溫度的降低逐漸變窄丨圖⽚來源：arXiv: 1005.3035
ER=EPR猜想暗⽰了時空本源可能來⾃量⼦糾纏。通常描述量⼦糾纏的度量是糾纏熵，但是ER bridge的增長時間卻會⼤⼤的超越熱平衡時間（⽽熱平衡之後糾纏熵會趨於定值），因此熵的概念似乎很難描述ER bridge的體積的變化。據此物理學家提出⼀種可能具有和熵不同性質的物理量與⾍洞體積產⽣關聯，即計算複雜度。它的物理含義是指定⼀系列操作門，從⼀個初態製備到末態所需要⽤到的最⼩操作門的數⽬。
同時，有趣的是，雖然前⽂提到的愛因斯坦-羅森橋不可穿越，但是我們可以構造相應的模型來實現這⼀可穿越⾍洞，即在邊界引⼊⼀個叫作double trace deformation的操作，引⼊如下的算符擾動
。這個操作相當於給背景時空引⼊了⼀條負能量的能流，它的能量在⿊洞視界附近因為引⼒藍移會變得⾮常⼤，因此會對於背景造成很⼤的反作⽤，從⽽影響視界的位置，使得⿊洞的視界向內收縮。因此從⼀個邊界發出的，原本落⼊奇點的光⼦會跑到視界外邊，重新到達另⼀個邊界。即實現了⾍洞的可穿越性。
根據ER=EPR的思想，這個過程相當於引⼒版本的量⼦隱形傳態，⽽double trace deformation則類似經典通道。在量⼦隱形傳態中，似乎量⼦⽐特是透過量⼦糾纏在另⼀個地⽅被重新構造出來的；⽽在引⼒的影象下，它有了⼀個全新的理解，那就是它是透過連線兩個地⽅的⾍洞穿越⽽來的[7]。
可穿越⾍洞的物理影象丨圖⽚來源：arXiv: 1704.05333
歐幾里得蟲洞
以上介紹了時空中的⾍洞作為⼀個可能物理客體所需要具備的條件及其相應的物理。然⽽，在近⼏年的量⼦引⼒研究中，⼀種新的⾍洞結構激發了⼈們更多的興趣，即歐幾里得蟲洞。
介紹什麼是歐幾里得蟲洞之前，我們先介紹理論物理研究中，經常進行的歐式化的操作。透過分析量子場論中的路徑積分和統計物理中的配分函式的相似性，我們發現如果對時間進行如下wick轉動的操作t=iτ，（關於wick轉動參見《溫度與神秘的虛時間 | 眾妙之門》）即將時間座標虛數化，我們可以將量子場論的問題和統計物理的問題等價起來，由此得到的即歐式路徑積分。在歐式路徑積分中，並沒有時間方向，可以看作是某個時間面上的物理。（當然我們也可以將歐式路徑積分和洛倫茲路徑積分結合起來。）
歐式路徑積分是研究眾多理論物理問題的一個極為有效的工具。後面我們將介紹，在用歐式路徑積分具體的計算黑洞霍金輻射的精細熵的時候，會出現之前所沒有發現的蟲洞結構。這種⾍洞結構，可以有助於我們理解眾多困難問題，如⿊洞的資訊丟失問題。
複製蟲洞與資訊丟失
⿊洞資訊問題，是量⼦⼒學和⼴義相對論在⿊洞這個時空下的最深刻的⽭盾。考慮純態物質塌縮為⿊洞繼⽽輻射，我們可以看到⼀個從純態到混合態的⾮⼳正演化，但是它是不被量⼦⼒學所允許的。⿊洞資訊問題，作為⼀個會下⾦蛋的母雞，激發了物理學家們源源不斷的創造⼒。
最近基於全息糾纏熵的啟發，⼈們發現了⼀種在引⼒中計算霍⾦輻射精確熵的辦法，被稱作島嶼公式。（參見《黑洞資訊悖論之謎，霍金最後的問題被解決了嗎？》）這種計算得到的精確熵，⼗分神奇的滿⾜Page曲線，進⽽滿⾜量⼦⼒學的⼳正性。我們知道，全息糾纏熵的RT公式，開始雖然是作為⼀個半猜想式的⼯作，但是後來得到了引⼒路徑積分的精確證明。⽽這⾥得到的島嶼公式，是否可以透過引⼒路徑積分來證明？如果可以的話，那麼它應該來⾃於引⼒路徑積分中哪些部分的貢獻呢？
⾸先我們介紹如何在場論中計算糾纏熵，它可以透過⼀種叫作複製技術（replica trick）的辦法計算，即將研究的系統複製n份，進⾏計算，最後再進⾏解析延拓的辦法。公式如下：
上文第一個等號是糾纏熵的定義，第二個等號則是應用洛必達法則得出的，這一步操作通常叫作複製技術（replica trick）
。因為路徑積分物理含義描述的是，從初態到末態的機率幅
，所以歐式路徑積分可以⽤來定義波函式，進⽽定義密度矩陣。在這個歐式路徑積分的表述下，上⾯糾纏熵的計算可以轉化為在複製流形上的配分函式的計算，即上⽂的最後⼀步等式。
依據上面的思路，如果我們將霍⾦輻射的密度矩陣透過歐式路徑積分進⾏⼀個圖形表⽰的話，精確地計算它的熵（即配分函式）
需要考慮所有可能的複製流形構型。考慮輻射和⿊洞整體組成⼀個純態
，因計算的是霍⾦輻射的熵，需要將⿊洞部分求跡。
熵的計算只是要求輻射密度矩陣作為邊界⾸尾順次連線形成⼀個replica的結構，但其幾何內部其實⽆法進⾏限制，因此計算Zn時需要考慮所有可能的內部構型，包括⼀些連通的構型。
⼀個簡單的⽰意圖：左側來⾃輻射密度矩陣形成的邊界條件（實線代表做了求跡之後的⿊洞邊界，虛線代表輻射），右側代表計算所需要的引⼒構型。第⼀個圖是⾮連通的構型，第⼆個圖代表連通的複製⾍洞構型。圖⽚來：arXiv: 1911.11977
當不考慮連通構型之時，可以得到和霍⾦最初的計算相符的熵，此時違反⼳正性；⽽考慮這個連通的構型（通常叫作複製⾍洞），則會得到和⼳正性預期相符的熵的⾏為。（考慮全連通構型就可以得到島嶼公式在晚期的結果，然⽽真實的複製⾍洞的貢獻會更豐富。）這個連通構型它的含義和⾍洞很像，都是透過⼀個連通結構來連線不同的引⼒區域（只不過這⾥的不同區域是對⼀個體系做replica trick得到的），但是它和洛倫茲型的⾍洞對應的物理卻⼤不相同，⽽它具體的物理含義仍然有待更多的理解和澄清。
複製⾍洞的特點，從圖中我們可以看到每⼀個邊界⾯上的⿊洞連線在了⼀起。圖⽚來源：arXiv: 1911.12333
複製⾍洞的計算是複雜的，其中只有最簡單的模型可以考慮Replica⾍洞的所有可能構型，並將其解析的求和起來得到最為精確的輻射精確熵[8]。然⽽物理學家已經可以（⾄少在2維下）透過複製⾍洞的⽅式，證明先前得到的島嶼公式的正確性。複製⾍洞的出現給⿊洞資訊問題的研究注⼊了新的⽣機活⼒，很多問題都得以被重新討論研究，例如引⼒系綜對應問題[9]，量⼦引⼒中的整體對稱性問題，以及⿊洞輻射過後的剩餘（remnant）[10]等。
也許真正有趣的事情才剛剛開始，期待未來⾍洞的研究會帶給我們更多的驚喜。
參考文獻
[1] M.S. Morris and K.S. Thorne, Wormholes in spacetime and their use for interstellar travel: A tool for teaching general relativity, Am. J. Phys. 56 (1988) 395.
[2] M.S. Morris, K.S. Thorne and U. Yurtsever, Wormholes, Time Machines, and the Weak Energy Condition, Phys. Rev. Lett. 61 (1988) 1446.
[3] J.M. Maldacena, The Large N limit of superconformal field theories and supergravity, Adv. Theor. Math. Phys. 2 (1998) 231[hep-th/9711200].
[4] J.M. Maldacena, Eternal black holes in anti-de Sitter, JHEP 04(2003) 021 [hep-th/0106112].
[5] M.V.Raamsdonk, Building up spacetime with quantum entanglement, Gen.Rel.Grav(2010) 2323-2329
[6]J. Maldacena and L. Susskind, Cool horizons for entangled black holes, Fortsch. Phys. 61 (2013) 781 [1306.0533].
[7] P. Gao, D.L. Jafferis and A.C. Wall, Traversable Wormholes via a Double Trace Deformation, JHEP 12 (2017) 151 [1608.05687].
[8] A. Almheiri, T. Hartman, J. Maldacena, E. Shaghoulian and Tajdini, Replica Wormholes and the Entropy of Hawking Radiation, JHEP 05 (2020) 013 [1911.12333].
[9] G. Penington, S.H. Shenker, D. Stanford and Z. Yang, Replica wormholes and the black hole interior, 1911.11977.
[10]P.S Hsin, L.V.Illiesiu, Z.Yang，Violation of global symmetries from replica wormholes and the fate of black hole remanants. Class.Quant.Grav.38(2021)19,194004.
來源：科普中國
