龐加萊猜想一個帶有基本意義的拓撲學猜想，這也讓龐加萊猜想的證明難度非常高。

從拓撲學中來看，龐加萊猜想的意義幾乎等同於證明1+1=2，是一個具有基礎意義的難題，因此龐加萊猜想也是七個千禧年難題大獎之一。

龐加萊猜想的表述十分簡單，但是卻讓 人難以理解：任何一個單連通的，閉合的三維流形一定同胚於一個三維的球面。

一位低調的數學家佩雷爾曼，證明了龐加萊猜想。

龐加萊猜想是什麼意思？

龐加萊猜想的表述聽起來非常複雜，但龐加萊猜想表述的內容非常簡單，意思就是一個封閉的三維空間中，如果三維空間上的每條曲線，都能收縮成一點，那麼這個空間就是一個三維球面。這裡的三維球面並非完美的圓形，蘋果之類的特殊曲面，也可以稱之為球面。

再通俗一些，就是用一個橡皮筋，綁住一個三維體塊，如果可以把橡皮筋重新聚集到一起，那麼這個三維面就一定是三維球面。

想象一下，如果我們把橡皮筋，綁在一個球上面，然後用力拉橡皮筋，可以很快將整個橡皮筋聚集到我們的手裡。

但是我們如果把橡皮筋綁到一個甜甜圈上面，橡皮筋就會被圓環的體積所阻攔，我們用力拉橡皮筋，也無法將橡皮筋全部聚集起來，除非在甜甜圈上切一個缺口。

根據龐加萊猜想，我們就可以得出結論——能夠把橡皮筋全部聚集起來的，就是三維球面，而無法聚集橡皮筋的，就是其他三維體。

龐加萊猜想的實際含義非常簡單，正因為龐加萊猜想非常簡單，屬於基礎命題，這也讓龐加萊猜想的證明非常困難。

龐加萊猜想的證明：

龐加萊猜想被提出後，就吸引了很多拓撲學家參加證明，但是一直沒有數學家證明成功，很多數學家甚至利用更高維度的空間去證明龐加萊猜想，但收效甚微。

直到2002年，數學家佩雷爾曼的一篇文章，直接釋出到了網路上，很多數學家也收到了佩雷爾曼的文章摘要，這篇文章的發表，讓很多數學家認識到龐加萊猜想被證明的可能性。

佩雷爾曼沒有對自己的學術研究進行任何保密，其本人也表示，自己從沒想要成為龐加萊猜想的唯一證明人，如果有人利用自己的文章證明了龐加萊猜想，那他也會很高興。

雖然證明了龐加萊猜想，但佩雷爾曼拒絕了相關的獎項榮譽以及獎金。

總結：‍

在數學界中，越是簡單的基礎猜想，證明的難度越高，比如我們所熟知的1+1=2，直到今天也無法進行證明。

龐加萊猜想雖然是一個拓撲學的幾何猜想，但是也是非常重要的基礎意義命題，龐加萊猜想作為拓撲學的基礎命題，可以幫助人類更好的瞭解三維空間。

龐加萊猜想也並沒有止步於三維空間，隨著龐加萊猜想的證明，拓撲學家開始將龐加萊猜想應用到高維空間，幫助人類瞭解高維度空間的規則，這些猜想被稱為“高維龐加萊猜想”。