2021年，數學家和計算機科學家們除了儲存逐漸消失的知識和重新審視老問題，還在集合論、拓撲學和人工智慧方面取得了令人激動的突破。他們在該領域的基本問題上取得了新的進展，慶祝跨越遙遠的數學領域產生的聯絡，並看到了數學和其他學科之間的聯絡和增長。但是，許多結果只是部分答案，一些有希望的探索途徑被證明是死衚衕，給未來（和現在）的人留下工作。
拓撲學家們已經度過了忙碌的一年，他們看到今年秋天出版的一本書終於全面地介紹了一項有40年曆史的重要工作，而這項工作有可能被遺忘。11年前創造的一個幾何工具在不同的數學背景下獲得了新的生命，連線了不同的研究領域。集合論方面的新工作使數學家們更接近於理解無限的本質和真正的實數有多少。
但數學並不存在於真空中。今年夏天，對量子場理論的數學理解的日益增長的需求，這是物理學中最成功的概念之一。同樣，計算機正日益成為數學家們不可或缺的工具，他們不僅使用計算機進行計算，求解一下本不可能解的問題，甚至驗證複雜的證明。隨著機器在解決問題方面變得更好，今年在理解它們如何變得如此出色方面也取得了新的進展。
Grace Park | 圖源：Quanta Magazine
01 儲存拓撲結構
人們很容易認為，一個數學證明一旦被發現，就會永遠存在下去。但是，1981年的一個開創性的拓撲學結果面臨著被遺忘的危險，因為剩下的幾個理解它的數學家已經變老並離開了這個領域。邁克爾-弗裡德曼（Michael Freedman）對四維龐加萊猜想的證明表明，在某些方面與四維球體相似（或「同構等價」）的形狀也必須在其他方面與它相似，從而使它們成為 「同構」(拓撲學家們有自己的方法來確定兩個形狀是否相同或相似）。幸運的是，一本名為《圓盤嵌入定理》（The Disc Embedding Theorem）的新書以近500頁的篇幅確立了弗裡德曼令人驚訝的邏輯，並將這一發現牢固地確立在數學大典中。
最近拓撲學的另一個重要結果涉及斯麥爾猜想，該猜想詢問四維球體的基本對稱性是否基本上是它的所有對稱性。渡邊忠之證明了答案是否定的，還有更多種類的對稱性存在，他這樣做啟動了對這些對稱性的搜尋，最近在9月出現了新的結果。另外，兩位數學家開發了「弗洛爾-莫拉瓦K理論」，這是一個結合了對稱幾何和拓撲學的框架；這項工作為處理這些領域的問題建立了一套新的工具，並且幾乎證明了一個幾十年前問題的新版本——阿諾德猜想。
Olena Shmahalo | 圖源：Quanta Magazine
02 開啟人工智慧的黑匣子
無論是幫助數學家做數學還是幫助分析科學資料，深度神經網路，一種建立在人工神經元層面上的人工智慧形式，已經變得越來越複雜和強大。它們也仍然很神秘：傳統的機器學習理論認為，它們巨大的引數數量應該導致過度擬合和無法歸納，但顯然一定有其他事情發生。事實證明，舊的和更好理解的機器學習模型，稱為核心機，在數學上等同於這些神經網路的理想化版本，表明了理解和利用數字黑盒子的新方法。
Olena Shmahalo | 圖源：Quanta Magazine
但也有一些挫折，被稱為卷積神經網路的相關人工智慧種類很難區分相似和不同的物件，而且很有可能一直如此。同樣，最近的工作表明，梯度下降（一種用於訓練神經網路和執行其他計算任務的演算法）是一個根本性的難題，這意味著一些任務可能永遠無法完成。量子計算，儘管它很有希望，但在3月份也遭受了巨大的挫折，一篇描述如何創造抗錯拓撲量子位元的重要論文被撤回，迫使曾經充滿希望的科學家認識到這樣的機器可能不存在。
撤回論文 | 圖源：nature
03 無窮大的本質
有多少個實數存在？一個多世紀以來，這一直是一個具有挑戰性的問題，也是一個未解決的問題，但今年在尋找這一答案方面取得了重大進展。大衛-阿斯佩羅和拉爾夫-辛德勒在5月發表了一個證明，結合了兩個以前對立的公理。其中一個公理的變體，馬丁最大公理。這一結果意味著兩個公理都更有可能是真的，這反過來又表明實數的數量比最初想象的要大，對應於基數N2而不是N1（N1也是無窮大）。
這並不是唯一被現代數學家重新審視的幾十年前的老問題。1900年，大衛-希爾伯特提出了23個未解決的重大問題，今年，數學家們釋出了第12個問題的不完整答案，即關於某些數字系統的構件，以及第13個問題，即關於七度多項式的解。2月還宣佈了單位猜想是錯誤的，這意味著乘法逆子實際上存在於比數學家想象的更復雜的結構中。而在一月份，Alex Kontorovich在一篇文章和影片中探討了可能是數學中最大的未解決的問題，黎曼假設。
Matteo Bassini | 圖源：Quanta Magazine
04 拓展數學的橋樑
通常情況下，一個偉大的數學進步不僅回答了一個重大問題，而且還提供了一個新的探索途徑，以嘗試解決其他問題。Laurent Fargues和Jean-Marc Fontaine在2010年左右創造了一個新的幾何物件，有助於他們自己的研究。但當與彼得-肖爾茲圍繞完形空間的想法相結合時，Fargues-Fontaine曲線具有了擴充套件的意義，作為幾十年來Langlands計劃的一部分，進一步連線了數論和幾何。Scholze說「這是兩個不同世界之間的某種蟲洞」。
Alexander Dracott | 圖源：Quanta Magazine
05 數學和計算機的聯手
現實世界的系統是出了名的複雜，而偏微分方程（PDEs）幫助研究人員描述和理解它們。但偏微分方程也是出了名的難解。兩種新的神經網路（DeepONet和Fourier神經運算元）的出現使這項工作變得更加容易。兩者都具有近似運算元的能力，可以將函式轉化為其他函式，有效地使網路能夠將一個無限大的空間對映到另一個無限大的空間。新系統解決現有方程的速度比傳統方法更快，它們也可能有助於為以前過於複雜的系統提供PDEs描述建模。
事實上，今年計算機已經在不同方面證明了對數學家的幫助。1月，Quanta報道了量子計算機的新演算法，這將使它們能夠處理非線性系統，其中相互作用可以影響自身，首先將它們近似為更簡單的線性系統。計算機還繼續推動了數學研究的發展，一個數學家團隊使用現代硬體和演算法證明了沒有比26年前發現的更多型別的特殊四面體，而更引人注目的是，一個名為Lean的數字證明助手驗證了一個難以捉摸的現代證明的正確性。
Olena Shmahalo | 圖源：Quanta Magazine
06 數學與物理再次相遇
物理學和數學總是相互重疊，相互啟發，相互促進。量子場論的概念，是物理學家用來描述涉及量子場的框架的總稱，已經取得了巨大的成功，但它建立在不穩定的數學基礎上。給量子場理論帶來數學上的嚴謹性，將有助於物理學家在該框架內工作和擴充套件，但它也會給數學家提供一套新的工具和結構來玩。在一個由四部分組成的系列中，Quanta研究了目前阻礙數學家的主要問題，探索了一個較小規模的二維例子，與QFT專家Nathan Seiberg討論了各種可能性，並解釋了最突出的QFT：標準模型。
原文連結：
https://www.quantamagazine.org/the-year-in-math-and-computer-science-20211223/
--Quanta Mmagazine
