摘要：目的為了深入研究正弦泵的技術性能，對其葉輪轉子進行動力學建模與模擬計算。方法在結構設計和理論分析基礎之上構建轉子等效力學模型，利用BEAM188,MASS21及COMBI214單元開發有限元建模程式；透過模態引數計算和多載荷步轉子動力學分析，確定了基於Campbell圖的前3階臨界轉速；在ADAMS/View環境下建立多剛體動力學模擬模型；將泵體壓力場簡化為主軸之上的等效力矩，並在考慮接觸特性的條件下對葉輪元件進行動力學模擬分析。結果轉子實際工作轉速（600～800r/min）遠小於其1階臨界轉速（29824.36r/min）；葉輪與刮板之間存在較大接觸碰撞力，且支撐軸承承受了更大的動態衝擊載荷。結論葉輪元件具有良好的轉子動力學特性，符合正弦泵結構原理和實際工況。
關鍵詞： 臨界轉速 力學模型 葉輪 多體動力學 有限元 正弦泵
正弦泵（SinePump）是一種迴轉式新型容積泵，最早由德國MASO公司於20世紀80年代研發製造，其優良的工作效能成功解決了食品衛生行業中的漿料輸送難題。相對於以往的離心泵、螺桿泵、轉子泵及齒輪泵等，正弦泵最大優勢就是能夠在無剪下、無脈動的情況下對物料進行柔和攪拌與輸送，因此被廣泛應用於食品、飲料、化妝品、醫藥及化工等行業[1]。儘管如此，正弦泵在國內市場和相關行業的應用並未全面展開，目前針對正弦泵的專業研究和相關技術文獻並不多見。
近年來，國內泵業製造廠商和相關科研人員開始重視正弦泵的技術優勢，並在正弦泵的研製和行業應用方面進行了探索，例如：華南理工大學的丁問司、張旭等[2]建立了基於AMESim平臺的正弦泵關鍵部件及整機模型，並透過模擬計算研究了正弦泵的動態特性；江南大學的陳娜、週一屆[3]在Fluent環境下模擬分析了正弦泵的流場情況，同時對葉輪結構引數進行了最佳化設計；漢勝工業裝置(上海)有限公司的陳禹等在介紹正弦泵工作原理、技術特點的基礎上，對MASO正弦泵在奶製品和肉內加工行業的應用情況進行了介紹[4]。此外，我國目前已經建立了一批針對正弦泵研製的聯營及合資企業，如上海漢勝裝置有限公司，上海天田泵業製造有限公司、上海貝工泵業製造有限公司、溫州興盛輕工機械有限公司等[1]。葉輪元件是正弦泵的核心部件。文中以某型正弦泵結構為參考，透過轉子動力學計算和多體動力學模擬分析，深入研究了葉輪元件在運轉狀態下的工作效能，為正弦泵的動態模擬設計提供了重要技術參考。
1、正弦泵結構原理
從結構特性來看，正弦泵設計精巧、拆卸方便，屬於食品衛生級正位移容積泵，目前已獲得多個國際權威食品衛生認證（如FDA,EHEDG,USDA,NAL等）。正弦泵系統結構組成見圖1，主要包括主軸、葉輪、機座、泵殼、套筒、刮板、滑槽、襯套、軸承室及軸承。其結構及功能原理為：具有正弦曲線特徵造型的葉輪與刮板沿徑向卡合，並透過滑槽和泵殼共同形成封閉腔體；葉輪利用其獨特的結構形狀，將泵腔劃分為4個相同的腔室，而卡裝在葉輪之上的刮板又將泵腔隔分為吸入腔室和排除腔室，以此保證在泵殼的進出口形成壓差。正弦泵透過主軸輸入扭矩驅動葉輪轉動，並在刮板沿滑槽運動的共同作用下實現流動物料的連續輸送。
與傳統的轉子泵和螺桿泵相比，正弦泵具有無可比擬的效能優勢。由於葉輪結構具有連續起伏的柔和輪廓造型，使得執行過程中不會對物料產生剪下作用，避免了物料發生氣泡或破碎，因此透過正弦泵輸送的食品物料在粘度、色澤及品質方面更勝一籌。此外，正弦泵不僅具有更高的自吸力（最高達85kPa）和排出壓力（最高達1500kPa），而且其單一葉輪設計能夠保證每次物料迴圈的輸送體積流量恆定，且物料吸入和排放過程平穩、流型一致，無峰值脈動等不利影響[5]。
圖1正弦泵結構
2、轉子動力學特性
2.1理論基礎
對於具有轉盤零件的轉子系統，根據轉子動力學理論，可透過線位移x,y和角位移θx，θy來表徵轉子振動形態，其振動方程見式（1—2)[6]。式中：M為動力矩陣，是由轉盤集中質量和直徑轉動慣量構成對角線元素的對角矩陣；J為極轉動慣量矩陣，是以轉盤極轉動慣量為對角線元素的對角矩陣；K為剛度矩陣，是由剛度係數構成的對稱矩陣；δ為位移列向量；ω為轉子角速度。
將葉輪元件結構被轉化為具有2個彈性支撐和1個集中質量（m）的離散轉軸系統，則其動力矩陣M、極轉動慣量矩陣J和剛度矩陣K均為二階矩陣，且位移列向量可表示為：δ1=[x，θy]T，δ2=[y，-θx]T。將以上矩陣和向量元素分別代入式（1—2）便可得到正弦泵葉輪元件的振動微分方程。
2.2等效力學模型
對正弦泵葉輪元件結構進行簡化處理，建立如圖2所示的等效力學模型，其基本思路：利用具有不同截面屬性的彈性梁單元（BEAM188）構建階梯主軸；將葉輪結構等效為集中質量點m，並由三維質量單元MASS21模擬；主軸支撐由二維軸承單元COMBI214模擬。透過建立等效力學模型，不僅能夠很好地簡化和取代葉輪元件實體結構，而且很大程度上減少了轉子動力學分析的複雜性及工作量，有利於節省機時、提高計算效率[7]。
圖2等效力學模型
圖3有限元模型
以等效力學模型為依據，在Ansys環境下利用APDL語言開發葉輪元件結構設計程式，建立如圖3所示有限元模型，相關建模資料見表1。階梯主軸段之間透過節點聯接，其材質採用45鋼，涉及的材料屬性引數包括：密度ρ=7800kg/m3；彈性模量E=207GPa；泊松比λ=0.3。葉輪採用不鏽鋼材質，其質量m=1.05kg；忽略軸承質量和阻尼，其支撐剛度K=544MN/m。根據葉輪元件裝配關係設定相應邊界條件，令集中質量m與主軸剛性聯接，完全約束COMBI214單元自由端所有平動與轉動自由度，同時限制其支撐端沿軸向移動和繞軸心旋轉自由度。
表1有限元建模資料
2.3模態頻率及振型
正弦泵是典型的高速旋轉機械，為保證整機系統性能穩定和安全執行，要求葉輪元件必須具備良好的結構動力學特性。透過模態分析能夠有效預測和評估葉輪元件的固有振動特性，有利於正弦泵的減振降噪和故障診斷[8]。分別對葉輪元件、主軸及葉輪進行模態分析，提取其前6階模態頻率，並在Matlab環境下繪製頻率分佈見圖4。分析比較可知，3種模態頻率均按從小到大的趨勢分佈，符合結構動力學中模態頻率的排序規律，其中，葉輪的模態頻率最大，主軸結構次之，而葉輪元件最小，且其基頻分別為4057.9,1348.6,704.61Hz。由此可知，與葉輪元件結構相比，單一實體零件的各階模態頻率顯然更高，說明子零件（主軸和葉輪）的抗振效能要優於葉輪元件，因此在對正弦泵進行結構動力學設計時，應重點從葉輪元件自身結構形式或裝配關係方面加以改進。
模態振型是預測結構在各階共振頻率下發生振動和形變的重要依據。由振動力學理論可知，結構的低階模態對其振動響應更為敏感，因此在結構動力學設計過程中關注低階振型更為有意義[9]，如圖5—6所示的葉輪和主軸一階振型。分析可知，在一階模態頻率下，葉輪結構會發生較明顯的彎曲振動變形，最大變形區域（4處）出現在輪廓邊緣且呈對稱分佈；主軸一階振型主要表現為彎曲和扭轉振動變形，最大變形區域集中在兩側軸端位置。葉輪元件等效力學模型的一階振型，三階振型，五階振型見圖7，其中虛線為原始模型結構，分析可知，一階振型和三階振型均是主軸段以軸承支點為中心，在xOz面內發生的往復振動變形，而第5階振型則表現為主軸的彎曲和扭轉組合變形。
圖4模態頻率比較
圖5葉輪一階振型
圖6主軸一階振型
圖7葉輪元件振型
2.4臨界轉速
在物料輸送過程中，葉輪元件處於高速旋轉狀態，準確計算其臨界轉速對於正弦泵的穩定執行具有重要意義[10]。根據模態分析結果，葉輪元件基頻（704.61Hz）對應的共振轉速高達42276.6r/min，以此為參考設定轉子動力學分析範圍。考慮陀螺效應，根據式（3）所示角速度ω與轉速n的轉換關係，在0～80000r/min轉速區間內，利用OMGA命令對葉輪元件施加一組驅動轉速，每組轉速間隔5000r/min，即轉子動力學計算過程共包括17個載荷步。
在模態分析基礎上執行各載荷步計算過程，並透過PLCAMP命令獲得葉輪元件的Campbell圖，見圖8。由Campbell圖可知，在0～80000r/min轉速範圍內，葉輪元件共存在三階臨界轉速，即29824.36,42375.40,61274.25r/min，與之對應的轉速頻率分別為497.07,706.26,1021.23Hz。正弦泵的工作轉速一般在600～800r/min左右，可見葉輪元件的工作轉速遠遠小於一階臨界轉速，說明在實際工況下該正弦泵完全能夠按照設計轉速穩定執行。
儘管如此，高速化始終是旋轉機械發展的終極目標，隨著近年來正弦泵的效能提升和技術進步，行業內對其工作轉速的要求也愈來愈高[11]。從轉子動力學方面來看，一階和二階臨界轉速對葉輪元件的影響較大，尤其是第二階臨界轉速，因為其對應的工作轉速頻率與葉輪元件的一階、二階模態頻率十分接近，所以在正弦泵高速化設計過程中，為使葉輪元件能夠適應更高的工作轉速，應儘量消除二階臨界轉速帶來的不利影響。
圖8葉輪元件Campbell圖
圖9葉輪壓力轉化簡圖
3、多體動力學模擬
3.1泵體壓力計算
由於葉輪結構具有特殊的正弦波形輪廓，使得物料的攪拌和輸送能夠連續平穩，因此正弦泵執行過程中基本不會形成脈動和剪下效應，可近似地認為封閉泵腔的壓力場呈各向同性分佈[12,13]。為方便多體動力學模擬計算，對泵腔內的壓力進行等效簡化處理[14]，見圖9。假設四分之一葉片面積為S，且葉面中心點到主軸中心軸的距離為L，若作用於葉片表面的壓強為P，則可將物料對葉片形成的壓力場轉化為一個集中力F，見式（4）。
正弦泵在輸送物料過程中需克服集中力F運轉，因此，可將阻力F轉化為作用於主軸之上的等效力矩T，見式（5）。根據文獻[1]，泵體壓力P=0.69MPa；透過葉片CAD實體模型檢測得知：S=25cm2;L=3.5cm。將各引數代入式（4—5）即可計算出等效力矩
。
3.2模擬模型構建
在ADAMS/View平臺上建立多剛體動力學模擬模型，見圖10。構成葉輪元件的零部件主要包括：主軸、葉輪、刮板、滑槽及軸承。其中，主軸與葉輪採用剛性聯接，刮板在葉輪連續轉動作用下沿滑槽往復運動，滑槽和軸承起固定支撐作用。對各零部件賦予材料特性引數，並根據葉輪元件裝配關係定義相應約束和運動副[15,16]。在ADAMS/View環境下對模擬模型進行機構學驗證，按照式（6）計算其自由度，其中：活動構件數量N=2，低副數量PL=2，高副數量PH=1，則由此計算出葉輪元件自由度v=1，符合機構學設計要求。
圖10葉輪元件模擬模型
將負載T施加於主軸之上，重力因子方向垂直於主軸中心軸線。考慮接觸特性影響，根據運動關係和材料特性，分別在葉輪與刮板、刮板與滑槽之間施加實體接觸（Solid-Solid），主要接觸引數包括：材料剛度（Stiffness）、材料阻尼（Damping）、力指數（Exponent）、穿透深度（Dmax）、靜摩擦因數（Mu＿Static）、動摩擦因數（Mu＿Dynamic）等[17,18]，具體引數值見表2。
3.3結果分析
執行動力學模擬過程，設定主軸驅動轉速為600r/min，模擬時間為2s，計算步長為1800。在後處理模組獲得刮板運動學曲線見圖11。分析可知，在正弦泵葉輪元件轉動一週過程中，刮板沿滑槽發生4次往復運動，泵體完成2次吸入和排放作業，當刮板運動至極限位置時，瞬時速度為0，加速度達到最大，符合正弦泵工作原理。從位移曲線可知，刮板位移行程約為25mm，且速度和加速度曲線光滑、平順，說明正弦泵葉輪元件運轉過程平穩、效能可靠。
圖11刮板運動學曲線
分析圖12所示接觸力模擬曲線可知，在一個迴圈吸排作業過程（0～0.1s）中，葉輪與刮板之間的接觸力出現2次峰值（約55747N），主要是由於在2次吸排瞬間葉輪表面與刮板接觸力較大；而刮板與滑槽之間出現4次峰值（約17N），說明刮板在4次往復運動過程中均會與滑槽形成瞬時接觸碰撞。比較可知，刮板與滑槽之間的碰撞頻率較高，但其接觸力峰值卻遠遠小於刮板與葉輪，這是由於在葉輪元件運轉過程中，刮板與葉輪始終保持高副線接觸，而刮板與滑槽之間則處於低副面接觸。
在負載轉矩T影響下，葉輪元件在高速運轉狀態下會對支撐部件形成一定衝擊。如圖13所示，在主軸運轉1周過程中，會對支撐軸承形成2次較大沖擊載荷，且軸承2承受的衝擊載荷明顯大於軸承1，最大載荷值分別為51171N和24503N，這是由於軸承2距離泵殼較近，因此受到來自泵體內部的振動衝擊更大，符合正弦泵結構原理和實際執行情況。
表2主要接觸引數
圖12接觸力模擬曲線
圖13軸承衝擊力載荷
4、結語
作為新一代食品衛生級輸送機械，正弦泵在結構和效能方面具有無可比擬的技術優勢。從動力學層面出發，綜合運用理論分析、結構設計、有限元分析及多體動力學模擬等手段，對葉輪元件結構及其工作效能進行了深入研究。利用等效力學模型簡化了葉輪元件轉子動力學計算的難度及流程，在模態分析基礎上確定了臨界轉速，為實際生產過程中正弦泵的調速與控制提供了依據。透過多剛體動力學模擬分析，明確了葉輪元件運轉過程中關鍵零部件的運動規律以及接觸碰撞和衝擊載荷變化情況，驗證了正弦泵的功能原理，為其調速控制和減振降噪提供了動力學層面的技術參考。在後續研究工作中，可考慮難度更大的流固耦合模擬或機電液一體化模擬，這方面的技術探索能夠更為準確地逼近實際工況，有助於全面深刻地理解和掌握正弦泵結構效能。
