看到一篇報道，“哈密爾頓-田”、“偏零階估計”。。。唔，好的，帶有原文連結，我覺得就沒必要打開了。相比於這個沒聽過名字的數學猜想，我們來看看比較著名的數學表示式吧。今天不看麥克斯韋方程組，看《時間簡史》等科普著作都會有一句“為了通俗介紹概念，本文不會出現任何數學公式”，然後書裡突然冒出一句，科學家由廣義相對論方程得到一個解，從而發現………………好，我們來看看廣義相對論的愛因斯坦引力場方程。下面這個就是了：

====================以下是推導過程和部分解和天體物理學意義=================================

第一節：廣義相對論場方程

廣義相對論是一個關於引力的理論。早在十七世紀牛頓就已經提出了一個引力理論。在牛頓的理論框架下，兩個有質量的質點之間存在著引力，其大小正比於兩個質點的質量乘積，反比於質點之間距離的平方，並且方向透過兩個質點之間的連線。牛頓當時已經覺察到，對地球上的物體，地球對所有不同材質的物體吸引程度都是一樣的，如果用物體受到的引力除以物體的質量，得到的比值始終都是一個常數，物理學家們稱這個常數為重力加速度。牛頓用了不同的材料做實驗，得到對於不同的材料，這個常數都在某個範圍之間波動，波動範圍不超過千分之一。到了十九世紀，隨著實驗精度的提高，這個誤差被進一步縮小。愛因斯坦在廣義相對論中把這作為一條基本原則，也就是引力對所有同樣質量的物體有著同樣的吸引強度。進一步，愛因斯坦假想了旋轉圓盤實驗和升降機實驗，並且得出結論說，在無窮小空間區域裡，引力和慣性力無法區分，而由於引力的存在，時空不能再用歐式幾何來描述，而應該用黎曼幾何來描述。愛因斯坦用時空的度規張量代替了牛頓-泊松理論框架下的引力勢。有了時空的度規張量，就可以構建出時空的黎曼聯絡係數，再根據黎曼聯絡係數就可以構建出黎曼曲率張量和Ricci曲率張量。有了這些曲率張量，愛因斯坦斷言，引力強度正比於時空曲率。於是到了愛因斯坦這裡，一個從古希臘傳承到牛頓的傳統被複活，那就是用幾何學的語言描述宇宙。古希臘對幾何學賦予了極為崇高的地位，歐幾里得的《幾何原本》及這本著作創立的公理化體系開創了西方世界科學的先河。牛頓顯然對這個體系讚歎不已，並且在牛頓的《自然哲學的數學原理》裡面，幾何學和公理化體系同樣佔據了主導地位。隨著後來分析學的進一步發展，牛頓《原理》裡面的幾何化的證明方式被拋棄，數學家們開始更加關心方程，到了1788年《分析力學》發表的時候，拉格朗日充滿自豪地宣稱他的書裡面一個幾何圖形也沒有。但是到了愛因斯坦的理論框架下，物理學家們重新開始用幾何的語言的來描述宇宙，儘管這種幾何語言已經不是牛頓所使用的那種幾何了。

A. Bianchi恆等式

為了簡單地推匯出引力場方程，首先我們需要匯出第二Bianchi恆等式。根據Cartan方程，我們知道，曲率2-form可以用聯絡1-form來構造出來，那就是

.

因為

,這裡

是一個矩陣，所以就有

於是曲率2-from就是

其中，

如果寫出矩陣指標，我們就可以得到熟悉的黎曼曲率張量

對Cartan方程求一次外微分，得到

代入

, 就有

.

代入

, 因為

,

,

,

另外定義曲率張量的協變微分為

.

根據

, 將

的指標全部展開，代入曲率張量的協變微分，最終得到第二類Bianchi 恆等式為

.

B. Ricci曲率張量

定義Ricci曲率張量為黎曼曲率的縮並，

.

可以證明

. 為了證明這個關係，我們唯一需要證明的就是縮並後的黎曼曲率的第一項兩個下標對稱，就是

. 根據黎曼聯絡係數的定義，我們知道

. 已知如果一個矩陣

可以對角化，那麼可以把這個矩陣寫作

. 記

. 矩陣

的行列式為

. 所以

.

求微分，得到

.

記度規張量的行列式為

, 我們就可以得到

.

因此，

.

其餘三項很容易看出來是關於兩個下標對稱的，所以就得到Ricci曲率張量的兩個下標對稱這個結論。

C. 愛因斯坦場方程

對Bianchi恆等式做縮並，得到

聯想到廣義相對論中的能量動量張量

及能量動量守恆條件

，可以猜測

.

愛因斯坦根據牛頓弱引力場近似，確定出來比例常數為

. 所以愛因斯坦場方程為

.

如果加上宇宙學常數，方程變為

.

式子中

代表黎曼曲率張量縮並後的裡奇（Ricci）張量，

代表曲率標量，

為能量動量張量。

這個方程用來描述引力場的具體情況，由於它是一個二階非線性偏微分方程組，所以很難得到精確解，

另外一種推導愛因斯坦引力場方程方法是變分法。定義作用量為

, 對作用量求關於度規張量

的變分，令變分為零，同樣可以得到愛因斯坦場方程。這個推導過於繁瑣，這裡就不再列舉。

第二節：球對稱靜態引力場中愛因斯坦場方程的解

愛因斯坦最早在1915年11月推匯出引力場方程之後就把他的理論應用在太陽系，並且成功地算出來了困擾天文學界數百年的水星的近日點進動問題。天文學家的觀測發現，哪怕已經扣除了其他大行星的攝動影響，水星的軌道仍然不是一個封閉的橢圓，這就與牛頓的理論預測相違背。事實上，水星的軌道是一個進動的橢圓。經過很大的誇張之後，水星的軌道如圖所示：

愛因斯坦用他的理論計算了水星的軌道，發現他的理論剛好可以解釋為什麼水星的軌道不是一個嚴格的橢圓，而且他的計算結果與天文觀測吻合地非常好。愛因斯坦當時用的是微擾理論，因為那時他還不知道球對稱引力場中場方程的精確解。球對稱引力場中場方程的精確解是1916年施瓦茲希爾德在一戰的戰壕裡算出來的，而且得到結果後沒多久施瓦茲希爾德就去世了。在這一節，我將展示如何推匯出球對稱引力場中場方程的精確解。球對稱星體不僅有質量，還可以帶有電荷，或者有自旋角動量。當星體有質量和電荷時，也可以算出此時引力場方程的精確解。如果星體沒有電荷，但是有角動量，那麼也可以得到場方程的精確解，這個解稱作Kerr解。Kerr解比沒有角動量時的場方程精確解要複雜得多。這裡我們只考慮星體有質量的情況。一旦有了引力場的精確解，我們就可以進一步計算出在這個引力場中有質量粒子和無質量粒子的運動軌道。這也就意味著，當知道了球對稱引力場的精確解之後，我們就可以算出太陽系中水星的軌道和光線的引力偏折。這是下一節的內容。

根據Birkhoff's theorem (relativity), 我們可以把球對稱引力場的度規寫作

.

真空中能量動量張量為零，所以場方程變為

.

縮並指標後很容易得到

, 所以場方程可以進一步簡化為

.

根據上一節內容，我們已經知道Ricci曲率張量可以透過黎曼聯絡係數算出來，那就是

為了計算Ricci曲率張量，我們需要先知道黎曼聯絡係數。黎曼聯絡係數可以用度規張量直接算出為

也可以根據測地線方程直接寫出聯絡係數。測地線方程為

測地線方程可以透過尤拉-拉格朗日方程得到。定義拉格朗日量為

尤拉-拉格朗日方程為

.

因為有四個座標，所以有四個測地線方程，分別為

由此得到所有非零的黎曼聯絡係數為

Ricci曲率張量的各個非零分量為

I:

II:

III:

IV:

所有非對角的Ricci曲率分量都為零。

於是真空中球對稱引力場的求解就歸結為解下面的三個獨立方程：

進一步化簡得到

等價於

解之得到

這裡

為積分常數。當

時，我們應該得到一個平直的時空，所以

.

可以根據弱引力場近似算出來，為

.

第三節：水星的近日點進動和光線的引力偏折

A. 水星的軌道

可以把水星簡化為一個質點。質點在引力場中運動的軌跡遵循測地線方程，測地線方程可以用尤拉-拉格朗日方程得到。上一節已經得到球對稱引力場的精確解。仍然沿用上一節的記號，記拉格朗日量為

其中，

,

.

利用尤拉-拉格朗日方程， 我們可以得到四個方程，為

顯然，

是一個解。這個解表示粒子的運動被限制在赤道平面上。這時測地線方程簡化為

因為

所以，

代入

, 得到

消掉

,

將上面的式子重新寫成為

弱引力場極限下，上面的式子可以簡化為

如果令光速為無窮大，則式子簡化為

此時廣義相對論退化為牛頓引力理論。這時，方程的解為

將上面得到的最低階近似代入到微分方程的右邊，得到

繼續化簡，

解方程，得到

這個解裡面有一項正比於

.這一項隨著角度的增加可以無限增長，在天體力學裡面稱作久期項。更多的解釋在 Section C. Section C 裡面重新求解水星的運動軌道。與這一節不同的是，C 裡面沒有用關於

座標的測地線方程，而是直接從度規歸一化條件出發求解。這是通常教科書的解法，跟直接用測地線解出的結果不完全一樣。不知道為什麼會這樣。

B. 光線的引力偏折

光子的情況跟水星不一樣，因為光子是沒有靜止質量的。因此，我們不能再用proper time作為引數，而應該選取一個affine引數

. 用這個引數，寫出零質量粒子的度規條件為

其中

.

測地線方程為

是一個解。代入到原始方程中去，利用

, 得到

對這個方程求關於

的微分，得到

最低階近似得到

可以令

, 得到

, 這表示是一條垂直於

軸的直線，直線與座標原點的距離為

. 這個最低階近似解可以理解為如果光子不受引力影響，那麼一束經過太陽的光將會走一條直線，而

為太陽的半徑。將最低階近似代入到方程的右邊，得到一個微分方程為

求解得到包含了一階微擾的近似解為

這裡的解裡面不含久期項，所以可以直接從這個解出發去計算光線的引力偏折。

無量綱化處理上面的式子，得到

該函式影象為

太陽在座標原點。可以看出，一束光從無窮遠處傳來，經過太陽附近時，由於太陽的引力效應，光線的傳播方向發生了偏折。光線遠離太陽之後，重新沿著一條直線傳播。入射直線與出射直線之間的夾角就是太陽引力造成的光線的偏折角。因為

,

所對應的兩個角度就是入射角度和出射角度。解

,

得到

因為角度一定是實數，所以

當

,

. 得到

. 兩角相差

, 所以光線沒有發生偏折。當

為一個小量（對應了弱引力場）時，

於是入射角度為

, 出射角度為

.

. 於是光線的引力偏折角為

.

這裡，

為太陽質量，

為太陽半徑。這個結果用量綱分析也很容易得到。

C. 再談水星的軌道

前面已經用測地線方程算過了水星的軌道，這裡用一個更簡單的方法計算一下水星的軌道。這兩種方法計算得到的水星的軌道應該一樣才對。

根據前面的內容已經知道，水星在這樣的一個度規場中沿著一條測地線運動：

兩邊同時除以

, 得到

根據尤拉-拉格朗日方程，我們知道這個運動有兩個守恆量：

將水星的軌道限制在赤道平面上，就有

. 將這些條件代入到度規歸一化條件裡面，得到

利用

，代入

, 令

, 得到

將上式對

求一次微分，得到一個微分方程

當光速為無窮大的時候，方程退化為牛頓理論，即

解得

這是一個封閉的橢圓。所以如果牛頓引力理論是精確成立的，那麼如果不考慮其他大行星的攝動，水星的執行軌道就不會出現近日點進動。這個解稱作是廣義相對論的最低階近似。為了計算相對論修正， 將解寫作

，代入到原方程得到

解得

這裡，微擾解裡面出現了一項

. 這一項隨著角度的增加會無限制地增長。在天體力學裡面，這一項被稱作久期項 (secular term). 如果我們保留了這一項，那麼我們可以得到一個非常不可思議的結論，就是隨著水星繞太陽圈數的增加，水星的軌道會變得越來越奇怪，直至跟牛頓理論的預言完全不同。但是天文觀測顯示，水星的軌道與牛頓理論預言的相差非常小，也就是廣義相對論修正應該是一個非常小的效應。所以微擾解出的久期項是不符合物理的，應該消除。消除久期項有一個方法是Poincaré-Lindstedt method.

為此，我們令

， 然後把原始的微分方程寫作

為了可以使用微擾理論，把方程重新寫作

令

, 代入到上面的方程，得到

代入

，保留一階項，得到

係數對應相等，對

，得到微分方程為

解之得到

對

，得到微分方程為

把

代入， 得到

久期項是由方程右邊第二項，也就是共振項，產生的。要想消除久期項，只需令共振項為零，也就是令

. 由此解得一階微擾。所以精確到一階微擾，原始方程的解為

其中，

. 所以，當引力場足夠微弱的時候，水星的軌道為

經過很大的誇張後，該函式影象如下圖所示：

這是一個進動的橢圓。水星每繞太陽執行一週，近日點就進動了

.

所以當考慮了相對論修正後，水星的軌道進動就可以被解釋。

D. 測地線微分方程與度規條件

在推導水星的執行軌道和光線的引力偏折的時候，我們可以直接求解四個測地線方程，也可以從測地線方程（確切地說，是從尤拉-拉格朗日方程）中提取出守恆量，然後代入到度規條件裡面求解粒子的軌道。這兩種方法應該是等價的。而且，很明顯可以看出來，提取守恆量然後代入度規條件要比直接求解測地線微分方程簡單。這裡要證明這兩種方法是等價的，並且要指出度規條件其實就是對應了能量守恆。

球對稱引力場的度規為

拉格朗日量為

尤拉-拉格朗日方程為

根據尤拉-拉格朗日方程可以匯出測地線方程為

其中黎曼聯絡係數為

這裡，注意到拉格朗日量不顯含

. 於是就可以根據尤拉-拉格朗日方程匯出雅克比首次積分為

很容易就可以得到

是個守恆量，因為，

因為在這裡拉格朗日量是關於

的二次齊次函式，所以根據尤拉的齊次函式定理，我們不必計算就可以直接寫出

於是，雅克比首次積分就是

根據前面的結論已經知道

, 所以這就意味著

. 這就跟度規條件等價了。所以在計算粒子軌道的時候，我們不必非得直接求解四個耦合的二階測地線微分方程，因為這樣計算量明顯太大。我們可以根據尤拉-拉格朗日方程找出迴圈座標，然後代入到度規條件 (也就是雅克比首次積分) 裡面去，這樣得到的微分方程要簡單很多。這就是在充分利用系統的對稱性，因為對稱性意味著守恆量的存在。根據經典力學的內容，雅克比首次積分對應著系統的總能量。

只要拉格朗日量裡面不顯含

，我們就有雅克比首次積分，這與度規張量具體的形式無關。設有一個度規場為

對應的拉格朗日量為

.

雅克比首次積分為

. 只要拉格朗日量對於廣義速度

是個二次函式，那麼根據尤拉的齊次函式定理，就一定有這個結論。這與度規張量具體的形式無關。所以度規條件本質上就是能量守恆。在物理學中，透過守恆量來解方程比直接求解運動方程要容易。

史瓦西解

第一個獲得該方程精確解的是史瓦西，他在預設引力場是靜態球對稱的情況下，利用含未知數的度規分量表出克氏符及其偏導數，代入真空場方程

中得到二階常微分方程組，求解得度規分量的具體表達形式，史瓦西解在球座標下的具體形式如下

上面的度規中採取幾何單位制（

)，其中

代表引力源的質量。

利用上述的度規可以得出引力對時間的影響。

實驗檢驗

水星近日點進動

1859年，天文學家勒威耶（Le Verrier）發現水星近日點進動的觀測值，比根據牛頓定律計算的理論值每百年快38角秒。他猜想可能在水星以內還有一顆小行星，這顆小行星對水星的引力導致兩者的偏差。可是經過多年的搜尋，始終沒有找到這顆小行星。1882年，紐康姆（S.Newcomb）

經過重新計算，得出水星近日點的多餘進動值為每百年43角秒。他提出，有可能是水星因發出黃道光的瀰漫物質使水星的運動受到阻力。但這又不能解釋為什麼其他幾顆行星也有類似的多餘進動。紐康姆於是懷疑引力是否服從平方反比定律。後來還有人用電磁理論來解釋水星近日點進動的反常現象，都未獲成功。

1915年，愛因斯坦根據廣義相對論把行星的繞日運動看成是它在太陽引力場中的運動，由於太陽的質量造成周圍空間發生彎曲，使行星每公轉一週近日點進動為：

其中a為行星軌道的長半軸，c為光速，以cm/s表示，e為偏心率，T為公轉週期。對於水星，計算出ε=43″/百年，正好與紐康姆的結果相符，一舉解決了牛頓引力理論多年未解決的懸案。這個結果當時成了廣義相對論最有力的一個證據。水星是最接近太陽的內行星。離中心天體越近，引力場越強，時空彎曲的曲率就越大。再加上水星運動軌道的偏心率較大，所以進動的修正值也比其他行星為大。後來測到的金星，地球和小行星伊卡魯斯的多餘進動跟理論計算也都基本相符。

光線在引力場中的彎曲

1911年愛因斯坦在《引力對光傳播的影響》一文中討論了光線經過太陽附近時由於太陽引力的作用會產生彎曲。他推算出偏角為0.83″，並且指出這一現象可以在日全食進行觀測。1914年德國天文學家弗勞德（E.F.Freundlich）領隊去克里木半島準備對當年八月間的日全食進行觀測，正遇上第一次世界大戰爆發，觀測未能進行。幸虧這樣，因為愛因斯坦當時只考慮到等價原理，計算結果小了一半。1916年愛因斯坦根據完整的廣義相對論對光線在引力場中的彎曲重新作了計算。他不僅考慮到太陽引力的作用，還考慮到太陽質量導致空間幾何形變，光線的偏角為：α=1″.75R0/r，其中R0為太陽半徑，r為光線到太陽中心的距離。

1919年日全食期間，英國皇家學會和英國皇家天文學會派出了由愛丁頓（A.S.Eddington）等人率領的兩支觀測隊分赴西非幾內亞灣的普林西比島（Principe）和巴西的索布臘兒爾（Sobral）兩地觀測。經過比較，兩地的觀測結果分別為1″.61±0″.30和1″.98±0″.12。把當時測到的偏角資料跟愛因斯坦的理論預期比較，基本相符。這種觀測精度太低，而且還會受到其他因素的干擾。人們一直在找日全食以外的可能。20世紀60年代發展起來的射電天文學帶來了希望。用射電望遠鏡發現了類星射電源。1974年和1975年對類星體觀測的結果，理論和觀測值的偏差不超過百分之一。

光譜線的引力紅移

廣義相對論指出，在強引力場中時鐘要走得慢些，因此從巨大質量的星體表面發射到地球上的光線，會向光譜的紅端移動。愛因斯坦1911年在《引力對光傳播的影響》一文中就討論了這個問題。他以Φ表示太陽表面與地球之間的引力勢差，ν0、ν分別表示光線在太陽表面和到達地球時的頻率，得：

（ν0 -ν）/ν=-Φ/c2=2×10－6.

愛因斯坦指出，這一結果與法布里（C.Fabry）等人的觀

行星繞恆星作公轉的比較(1張)

測相符，而法布里當時原來還以為是其它原因的影響。

1925年，美國威爾遜山天文臺的亞當斯（W.S.Adams）觀測了天狼星的伴星天狼A。這顆伴星是所謂的白矮星，其密度比鉑大二千倍。觀測它發出的譜線，得到的頻移與廣義相對論的預期基本相符。

1958年，穆斯堡爾效應得到發現。用這個效應可以測到解析度極高的r射線共振吸收。1959年，龐德（R.V.Pound）和雷布卡（G.Rebka）首先提出了運用穆斯堡爾效應檢測引力頻移的方案。接著，他們成功地進行了實驗，得到的結果與理論值相差約百分之五。

用原子鐘測引力頻移也能得到很好的結果。1971年，海菲勒（J.C.Hafele）和凱丁（R.E.Keating）用幾臺銫原子鐘比較不同高度的計時率，其中有一臺置於地面作為參考鍾，另外幾臺由民航機攜帶登空，在1萬米高空沿赤道環繞地球飛行。實驗結果與理論預期值在10%內相符。1980年魏索特（R.F.C.Vessot）等人用氫原子鐘做實驗。他們把氫原子鐘用火箭發射至一萬公里太空，得到的結果與理論值相差只有±7×10^-5。

雷達回波延遲

光線經過大質量物體附近的彎曲現象可以看成是一種折射，相當於光速減慢，因此從空間某一點發出的訊號，如果途經太陽附近，到達地球的時間將有所延遲。1964年，夏皮羅（I.I.Shapiro）首先提出這個建議。他的小組先後對水星、金星與火星進行了雷達實驗，證明雷達回波確有延遲現象。開始有人用人造天體作為反射靶，實驗精度有所改善。這類實驗所得結果與廣義相對論理論值比較，相差大約1%。用天文學觀測檢驗廣義相對論的事例還有許多。例如：引力波的觀測和雙星觀測，有關宇宙膨脹的哈勃定律，黑洞的發現，中子星的發現，微波背景輻射的發現等等。透過各種實驗檢驗，廣義相對論越來越令人信服。然而，有一點應該特別強調：我們可以用一個實驗否定某個理論，卻不能用有限數量的實驗最終證明一個理論；一個精確度並不很高的實驗也許就可以推翻某個理論，卻無法用精確度很高的一系列實驗最終肯定一個理論。對於廣義相對論的是否正確，人們必須採取非常謹慎的態度，嚴格而小心地作出合理的結論。