本篇文章向大家介紹的內容是：“伯奇和斯溫納頓—戴爾猜想”。它是以“伯奇”和“斯溫納頓—戴爾”這兩位數學家的名字來命名的問題。作為七大千年難題之一，許多人只知道它被懸賞百萬美元尋求解答，對它的具體內容並不瞭解。本篇文章將會為大家詳細講解，相信看完後大多數人都能對它有更清晰的認識。
這是一個關於橢圓曲線的問題。橢圓曲線的重要性不用多說，已經證明的費馬大定理就是透過確立橢圓曲線與數學的另一分支“模形式”的理論之間的一種聯絡——而得到的。
費馬
雖然這個猜想本身深埋在非常高深的數學叢林中，但我們可以透過一些低等的起點——計算直角三角形的面積公式去向它逼近。
有一個可以追述到古希臘的經典問題：給定一個正整數d，問你是不是存在邊長為有理數（整數或分數）而面積恰好是d的直角三角形？
例如，在d=6時，三條邊剛好可以表示成，3，4，5。當d=5時，也存在邊長為有理數的直角三角形，它們分別為3/2、20/3、41/6。由於數是無窮無盡的，所以這個問題變得棘手起來。為了讓這個問題有更多研究方法，數學家們將它與橢圓曲線聯絡了起來。
首先，他們假設x與y都是有理數且滿足方程
y^2=x^3-xd^2（其中d為正整數，y不等於0）。然後令一個直角三角形邊長為有理數a、b、c，面積為d。
兩式結合，根據直角三角形面積公式，三角形三邊長就可以表示為
｜（x^2-d^2）/y｜、｜2xd/y｜、｜（x^2+d^2）/y。
同理x=1/2a（a-c），y=1/2a^2（c-a）
雖然結果看起來有些複雜，但都是簡單的代數運算，你不需要花太多時間去驗算這個結論，只需要理解這種命題的等價轉換方式即可。
根據橢圓曲線的判別式Δ=-16（4a^3+27b^2），我們得出上式Δ=-16【4（-d^2）^3】=64d^6，它不等於零。所以這個方程的影象是一條橢圓曲線（在判別式中令a=-d^2和b=0）。
於是求出哪些整數d可以成為邊長為有理數的直角三角形的面積的問題，就等價於在某種橢圓曲線上尋找有理點（即座標是有理數的點）的問題，這就是這道千年難題需要研究的問題。
對於這個難題，這兩位數學家處理的思路是對某種橢圓曲線上的有理點的個數進行計數。
因為這些有理點很可能是無窮的，所以對這些無窮集進行計數較有效的方法是，進行一系列的次級計數。而要理解這種記數方法，我們需要去了解一下有限算術。
橢圓曲線y^2=x^3-x。雖然被分為了兩個部分，但它仍然由一個方程確立
用時鐘計數：有限算術
我們知道時間是無窮無盡的（我們保持樂觀態度，假設不存在最後一分鐘），它將永遠延續下去。但時鐘發明者對分鐘的計數卻只用了60位數。他們的做法是，當時間到達59分鐘時，重新從零開始計數。在數學上的表達就是以60為模對分鐘進行計數。同樣，他們以24為模對小時計數。
所以對於任意正整數M，我們可以進行以M為模的計數。進行這個計數所使用的數是0，1，2…M-1。在M-1之後，我們重新從零開始。
隨便取一個正整數，以8為例。我們把這個範圍內的所有正整數兩兩相加，只要得出的結果大於等於8，我們就減去8，直至結果小於8就是我們要的答案。
例如，在以8為模的算術中，
2+5=7，3+5=0，7+7=6
數學上的表達就是
2+5≡7（mod 8），3+5≡0（mod 8），7+7≡6（mod 8）
數學家們把這樣的表示式稱為同餘式。上面式子中第一個讀作“2+5以模同餘7”。
除了加法，你同樣可以對它做減法和乘法。例如它的乘法
2*3≡6（mod 8），5*7≡3（mod 8）
就是一般乘法運算結果減去8的倍數最後小於8即可。
減法，7-3≡4（mod 8）3-6≡5（mod 8）
它在做除法時，凡是模為素數，除法皆可行。對於合數模一個數除以另一個數在有限算術中並不總是可行的。（當然，原因是普通算術中，很多整數也並不能被另一個整數整除。）
雖然，很多人稱模運算只是算術的一種有限性版本，但它仍然在許多情況中很有用。其中之一就是它為本文的這道千年難題對橢圓曲線上的有理點進行計數提供了一種方法。簡單瞭解了有限算術，我們回到剛才提出的問題。
如何對無窮集進行計數
為了對橢圓曲線上的有理點進行計數，伯奇和斯溫納頓—戴爾對許多不同的素數p進行以p為模的類似計數。
也就是說，他們取不同的素數p，對滿足同餘方程
y^2≡x^3+ax+b（mod p）的整數對（x，y）的個數進行計數。
對任意給定的素數p，這種計數當然都是有限的，所以可以實際操作。
我們設Mp是以p為模的解的個數，即Mp是滿足上式同餘方程的以p為模的整數對（x，y）的個數。
例如，我們取橢圓曲線y^2=x^3-x和素數5。然後將其中所有整數對代入同餘方程
y^2≡x^3-x（mod 5）
因為取的素數為5，所以x與y都是0到4的整數（參照前面講的方法）。將x與y代入方程，我們容易得到這個方程的解一共7個。因此對這個同餘方程，M5=7。（注意這裡不是指M與5的乘積）
換言之，如果（u，v）是方程
y^2=x^3+ax+b的一個整數解，那麼（u mod
p，v mod p）就是同餘方程y^2≡x^3+ax+b（mod p）的一個解（其中u mod p 是用u來除以p的餘數），是不是很好理解？
於是，如果在橢圓曲線上有一個有理點，那麼每一個以素數p為模的同餘方程就有一個解。
所以伯奇和斯溫納頓—戴爾認為：如果對於大量的素數，同餘方程有著大量的解，那麼它的原方程也有無窮多個有理數解。
接下來的問題是，你怎麼樣證明是不是有大量的這種同餘式有著大量的解？
為了判定許多以p為模的同餘方程是否有著大量的解，這兩位數學家對一系列不斷增大的L值計算了“密度函式” p/Mp的無窮乘積（其中p是素數且小於等於L，Mp是指以p為模的同餘方程的解的個數，前面也講過）。
他們觀察了得到的資料——主要是上式密度函式的值在L增大時如何變化的影象。
伯奇和斯溫納頓—戴爾
這兩位數學家認為：如果原來的橢圓曲線有無窮多個有理點，那麼對於所有以素數p為模的同餘方程有大量的解。也就是說，對於無窮多個素數，p/Mp的值遠遠小於1，因此這個無窮乘積算出來應該是0。他們認為這個論述倒過來也成立：計算p/Mp的無窮乘積，若發現它是0，那麼這條橢圓曲線上就有無窮多個有理點。也就是說，這條橢圓曲線上有無窮多個有理點的充要條件是p/Mp的無窮乘積=0。
但是如何計算這個無窮乘積呢？在我另一篇文章中有詳細講解——如何將無窮乘積轉化為無窮和，所以這裡我們就直接跳過，來到結論。
對於任意實數s大於1，1/（1-1/p^s）的無窮乘積等同於1/n^s無窮和（其中p是素數，n是正整數），然後他們也開始嘗試將前面式子的無窮乘積轉化為無窮和。
結語：如果你看到這裡依然感覺良好，歡迎關注我。若有什麼疑問，可以盡情提出，因為篇幅原因且後面較難理解，所以餘下部分將在下一章為大家講解，謝謝支援！
