作者：張奠宙
來源：科學源流
1900年，在巴黎舉行的國際數學家大會上，德國數學大師希爾伯特在講演的開始就說，“揭開隱藏在未來之中的面紗，探索未來世紀的前景，誰不興奮呢？”接著，他提出了20 世紀需要解決的23個數學問題。現在，20世紀即將過去，百年來數學面紗一層層被揭開。自然科學尤其是物理學的推動，以及電子計算機的出現，改變了人類社會的生活方式，也改變了數學本身。數學技術滲入到各行各業。希爾伯特問題多半已經有了結果。今天，數學家們又在為21世紀的數學問題進行構想。數學科學仍將一日千里地發展，在探索自然奧秘和推動社會發展中做出貢獻。
一、 20世紀數學的開端（1900--1918）：龐加萊和希爾伯特
本世紀之初，法國的龐加萊是無可爭辯的數學領袖。他在三體問題、微分方程的定性理論、拓撲學等領域做了大量的原創性工作，成為開掘不盡的數學寶藏。如果說龐加萊主要以自然科學的實踐背景為數學研究的源泉，那麼，希爾伯特則更多地從數學本身的完善上尋求進步。他的著名工作有“數論報告” 、“幾何基礎”、“抽象積分方程與抽象空間“。希爾伯特倡導的形式主義學派，成為20世紀的主導數學哲學。
圖1 希爾伯特
這一時期最重要的數學事件，是愛因斯坦的相對論把新時代的幾何學推到了科學的最前沿。四維時空的狹義相對論，產生了閔可夫斯基空間幾何。彎曲時空的廣義相對論，使得張量分析、黎曼幾何、高維幾何成為物理學革命的工具。我們生存的宇宙空間，可以用黎曼(G. F. B. Riemann, 1826--1866）在1854年創立的高維流形和曲率理論來描述。人們不禁驚歎造化之工，數學之巧。
與物理學推動數學發展的同時，純粹數學也在以驚人的方式大步前進。19世紀初法國傅立葉（J.-B.-J.Fourier, 1768--1830）提出的調和分析，是眾多數學分支的出發點。德國的康托爾(G.F.P.Cantor, 1845--1918）從研究傅立葉級數的唯一性提出“點集”的概念，以後發展為“集合論”，成為所有抽象數學的表述工具。法國的勒貝格（H.L.Lebesgue, 1875--1941） 創立了建立在可列可加測度上的積分理論，使得許多黎曼意義下不可積的函式也可以進行傅立葉展開，實現了一次積分革命。康托爾和勒貝格建立的數學理論，常常涉及一些沒有導數的病態函式，沒有切線的奇異曲線，以及看上去千瘡百孔的怪異集合。當時的數學家難以想象勒貝格積分竟會成為20世紀工程師手中的工具。
圖2 康托爾
特別在康托爾的集合論中，關於無限集合的超限數理論很難使人接受。一個典型論斷是，正方形一邊上的點和對角線上的點一樣多！康托爾本人也陷入了自己提出的一個悖論，“ 由一切基數構成的集合S，其基數將大於S中的所有基數”。這使康托爾日夜難寐。當時德國數學界的當權人物克羅內克(L.Kronecker,1823--1891）曾對康托爾的無限觀進行猛烈抨擊，反對康托爾進入柏林大學。康托爾於1884 年起患精神分裂症，病情時好時壞，1918 年病逝於哈雷精神病研究所內。希爾伯特是康托爾數學業績的積極支持者。他曾說：“沒有人能把我們從康托爾所創造的天國中趕走！”
圖3 羅素
1903年，英國著名哲學家、數理邏輯學家羅素（B.Russell，1872--1970）在研究集合論時發現了一個十分簡單的悖論：
這觸發了數學基礎的大論戰，世稱“第三次數學危機” 。為避免羅素悖論，羅素提倡“邏輯主義”，認為數學即邏輯，只要數理邏輯沒有矛盾，數學就不會有矛盾，而且是永遠絕對正確。希爾伯特則提出“形式主義”，認為數學研究的物件，可以不必考慮實際意義，無非是一些物件按一套公理作形式演繹的結果。只要公理無矛盾、獨立、完備，數學就永遠絕對正確。直覺主義則採取保守態度，不承認“自然數全體所成的集合”，反對使用排中律，主張“數學物件的存在，必須能夠構造”，因而把數學限制在很小的範圍內。邏輯主義想把數學化歸為邏輯的願望未能實現，但留下了數理邏輯這門重要學科。希爾伯特的形式主義後來被奧地利數學家哥德爾（K. Gödel，1906--1978）的兩個不完備定理所否定，尋求數學絕對嚴格基礎的理想隨之破滅。但是，形式主義的思想為後來的布林巴基學派所繼承和發展，對20世紀數學觀念的影響極為深刻。直覺主義的思想過於保守，束縛了數學家的手腳，也沒有得到廣泛承認。只有“構造主義”的想法，隨著電子計算機的出現，獲得了新的生命力。
本世紀初，英國的分析學派非常強大。哈代(G.H.Hardy，1877--1947)和李特爾伍德（J.E.Littlewood，1885--1977）是領袖人物。他們在解析數論、單複分析、不等式、級數等“硬”分析領域中有很高建樹。哈代發現並培養了印度傳奇數學家拉馬努詹(S.A.Ramanujan，1887--1920) 。拉馬努詹未受正規教育，在不知道什麼是現代意義下的嚴格證明的前提下， 完成了大量的數學工作。拉馬努詹的筆記本上寫滿了大量公式，並沒有詳細證明。60多年之後，美國的伯恩特（B.C. Berndt)把拉馬努詹筆記本加以整理，完成證明，分三冊出版。該書的研究表明，除少量公式有誤之外，絕大部分是正確的。拉馬努詹是如何進行數學思考的？這一數學之“謎”，仍有待解開。
圖4 拉馬努詹
經典的數學應用工作仍在深入進行。力學、電學、光學、以及機械工程、建築工程中的數學問題被大量研究。引人矚目的工作是數理統計學以“生物統計學”的形式開始出現。標準差、平均差、相關等術語，在1901年皮爾遜（K.Pearson,1857--1936）創辦的《生物計量學》（）等雜誌上陸續使用。
二、 冷戰時期的數學爭雄（1945-1980）
第二次世界大戰結束之後，美國和前蘇聯分別代表西方和東方國家集團的霸主，進入了長達幾十年的冷戰時期。從數學上看，戰後的幾十年，也是兩國爭雄的局面。普林斯頓高等研究院和莫斯科大學始終是世界兩大數學中心。
圖5 普林斯頓高等研究院
圖6 莫斯科大學
50年代和60年代，是戰後的恢復發展期。12年義務教育的普及，高等教育的大發展，為數學家們造就了極好的就業局面。數學家的人數大量增加，數學論文的數目呈爆炸之勢，新的數學學科層出不窮。人們慨嘆，在外爾和馮·諾伊曼於50年代先後去世之後，能夠縱觀數學全域性的數學家，似乎已經不會再有了。只有1987年去世的柯爾莫哥洛夫也許是個例外。
圖7 柯爾莫哥洛夫
儘管文獻浩如煙海，重要的數學工作仍然十分令人注目。這裡選取的當然是一些不完整的羅列：
- 希爾伯特第五問題——每個區域性歐氏群一定是李群——於1952年獲得完全解決。
- 柯爾莫哥洛夫與阿諾爾德（B. И. Apнoльд，1937—2010），以及美國的莫澤（J.K.Moser，1928—）分別於1954年、1963年完成動力系統的KAM定理，已成為三體問題、哈密頓系統研究的經典成果。
- 美國的米爾諾（J.W.Milnor，1931—）於1956年發現，在8維空間中有一個流形，和7維空間中的單位球面同胚但不微分同胚，即所謂“米爾諾怪球”。
- 美國的斯梅爾（S.Smale，1930—）於1960年證明廣義龐加萊猜想。
- 英國的阿蒂亞和辛格（I.M. Singer，1924—2021）於1963年將一般流形的拓撲結構和其上微分運算元的核空間維數聯絡起來，得到深刻的阿蒂亞-辛格指標定理。
- 美國的科恩（P.J. Cohen，1934—）於1963年證明，選擇公理和ZF公理體系獨立。
- 前蘇聯的諾維科夫（C.Π. HOBИKOB，1938—）於1965年證明微分流形的龐特里亞金類的拓撲不變性。
- 法國的格羅滕迪克（A. Grothendieck，1928—2014）於1966年建立格羅滕迪克群和環，並由此引人K理論。
- 在美國羅賓遜（J. Robinson，1919-1985）工作的基礎上，前蘇聯的馬蒂塞奇（Ю. Maтиясевич，1948—）於1970年解決了希爾伯特第十問題，即丟番圖方程無有限步演算法。
- 40年代由韋伊提出的韋伊猜想得到解決。格羅滕迪克首先取得重大進展，1974年其弟子、來自比利時的德利涅（P. Deligne，1944—）徹底解決。
- 大範圍微分幾何成為表述規範場論的數學工具。這是陳省身和楊振寧（1922—）於1975年前後分別從數學和物理學上所得成果的統一。
- 美國黑肯（W.R.G. Haken，1928—）1978年在伊利諾伊大學完成四色問題的電子計算機證明。
- 在美國的布饒爾（R.D. Brauer，1901—1977）、湯普森（J.G. Thompson，1932—）和戈朗斯坦（D. Gorenstein，1923-1992）等人的努力下，有限單群分類於1980年得到完全解決。
戰後數學上最大的變化是電子計算機的使用。數學由此變成了一種技術——數學技術。科學計算成為繼理論構建、實驗考察之後的第三種科學研究方法。軍事指揮、飛機設計、原子彈爆炸、化學反應、人口計劃、氣象預測、衛星定位、石油勘探、企業管理，一切都可以運用數學模型在計算機上進行。數學為人類創造了巨大的財富，節約了無數的資源，這一切卻很少被公眾所充分了解。以數學工作獲得諾貝爾經濟學獎已是十分常見的事情。
圖8
在這基礎上，許多純粹數學得到料想不到的應用。例如，有限域用於密碼學，數論用於近似計算，纖維叢理論用於規範場，拉東變換用於CT掃描，拓撲學用於DNA分子結構，等等。同時，由於計算機科學和人工智慧的需要，組合數學得到了迅猛的進展。計算複雜性形成了一門艱深的理論。尋求多項式演算法成為數學家注意的焦點。1979年前蘇聯哈奇揚（Л. Г. Хачиян）提出線性規劃的橢球演算法，以及後來的卡瑪卡演算法都是轟動一時的新聞。起源於實際、卻又大膽創新的學科相繼湧現，例如，模糊數學、非標準分析、突變理論。它們創立者都認為自己的工作將是數學的一場革命，但這需要時間的檢驗。
總之，二戰以後，數學向科學女王和科學侍女兩極發展。一方面，純粹數學繼續向高、深、難的方向進軍，範疇、流形、纖維叢、多複分析、代數簇、上同調、鞅、分枝等新領域不斷得到開拓。數學研究的物件從低維空間到高維空間以至無限維空間，函式和方程的研究從單變數發展到多變數，已經大體完成了的線性數學走向非線性數學，決定性數學和隨機現象的數學彼此融合和滲透。數學仍保持著至高無上、完全正確的華貴形象。另一方面，數學又極力為其他科學服務，為人類的生活服務，走近常人的生活，使應用數學廣泛滲入到各門學科（包括社會科學）中去，科學數量化的程序可以說無孔不人，數學確已成為人們忠實的科學侍女。
三、 數學多極化時代來臨（1980年至今）
進入80年代，世界的政治經濟出現多元化的格局，數學也進入了多元化格局。一個大體的描述是：“美國、前蘇聯繼續領先，西歐緊隨其後，日本迎頭追趕，中國和其他地區正在迅速發展。”1991年蘇聯解體使得原蘇聯地區的數學有所削弱，但其數學基礎和研究實力仍然十分強勁，不可低估。
經過二次大戰以後，數學家隊伍有了空前的擴大。數學工作市場有飽和的跡象。純粹數學研究仍會保持前進的態勢，但要求有更高的研究水平，產生更有意義的成果。一些“無病呻吟”、“濫竽充數”的數學論文將會受到冷落，優勝劣汰的法則已經比過去更加嚴厲地在數學界通行。一個最激動人心的事件是費馬大定理的證明。1983年，德國的法爾廷斯（G. Faltings，1954—）證明費馬大定理如果有解，至多有有限個互素解。1993年6月，英國的懷爾斯（A. Wiles，1953—）在前人工作的基礎上宣佈費馬大定理是正確的（最終證明於1994年9月完成），這是人類智慧的偉大象徵，是20世紀末最高的一項數學成就。
數學家大批轉向計算機科學和人工智慧領域，乃是就業市場自然調整的結果。同時計算機的威力擴大和延伸了數學家的腦和手。非線性數學的發展得力於此。80年代以來，混沌理論、分維幾何、孤立子解、小波分析等數學熱點，沒有不和計算機發生聯絡的。
圖9
數學和物理學層面的交融，仍然是數學發展的重大源泉。1987年，英國的唐納森（S. Donaldson，1957—）在楊-米爾斯方程的求解過程中，發現四維空間中有一種流形，具有兩種不同的微分結構，大出人們的意料之外。美國物理學家威滕（E. Witten，1951—）用物理學方法推演數學問題，雖然沒有嚴格證明，卻得到了正確的數學結果。希爾伯特的形式主義數學哲學，布林巴基的結構主義數學觀，在威滕的工作面前顯得無能為力，數學中經驗主義是否正在復興？只有猜想沒有嚴格證明的“理論數學”是否允許存在，正嚴肅地擺在數學界的面前。
四、20世紀的中國現代數學
中國現代數學之開端可以追溯到徐光啟（1562—1633）和利瑪竇（R.Matteo，1552—1610）於1607年翻譯出版歐幾里得的《幾何原本》。清末李善蘭（1811-1882）曾和偉烈亞力（W. Aexander，1815-1887）於1859年譯出美國數學教材《代微積拾級》，李善蘭恆等式至今猶有價值。1898年京師大學堂成立，先後派遣一些學生到日本學習數學。其中有馮祖荀（1880-1943），後來長期擔任北京大學數學系主任。清末到美國學習數學的有胡敦復（1886-1978）、鄭桐蓀（1887-1963）、秦汾（1887-1971），起過一些先驅作用。1909至1911三年中，因美國退回部分庚款而選送三批中國留學生到美國留學。以學習數學而著稱的有胡明覆（1891-1927），他是中國第一位數學博士（1917年於哈佛大學獲得）。姜立夫（1890-1978）於1911年到美國，1918年也在哈佛獲博士學位。與此同時或稍後，何魯（1894-1973）與熊慶來（1893-1969）到歐洲研習數學。他們回國後推動中國各大學數學系的創辦，奠定了中國現代數學的基礎。
圖10 姜立夫
30年代的清華大學數學系實力雄厚。特別是陳省身和華羅庚兩位青年學者的到來，使中國數學開始走向世界。江澤涵（1902-1994）致力於北京大學數學系的發展。從日本回來的陳建功（1893-1971）和蘇步青（1902-2003）建設浙江大學數學系，使之成為中國數學發展的又一基地。到了抗日戰爭時期，西南聯合大學已擁有陳省身、華羅庚、許寶騄（1910-1970）這樣具有很高聲譽的數學家，和其他數學家一起，中國現代數學開始接近世界先進水平。
圖11 華羅庚
1949年之後，中國數學界的規模迅速擴大，數學門類逐漸齊全，並能夠為國民經濟和國防事業服務，華羅庚和吳文俊（1919-2017）等大批旅外數學家回國。陳景潤（1933-1996）等年輕數學家成長很快，出現了一批在現代數學研究上卓有貢獻的中國數學家。1966年開始的十年動亂，使數學前進的勢頭銳減，以至癱瘓。80年代以來，經過恢復時期，新一代的數學家成長起來。從1986年開始，吳文俊、田剛、林芳華、張恭慶、馬志明、勵建書、李俊等先後應邀作國際數學家大會的45分鐘報告。陳省身獲沃爾夫獎，丘成桐（1949-）獲菲爾茲獎，使中國數學界受到鼓舞。“21世紀的數學大國”是中國數學界的共同願望，經過幾代人的不懈努力，這一理想正在逐步變為現實。
展望未來，我們需要總結過去幾百年世界數學走過的道路。純粹數學研究中的原創性，開闢新學科新方向的意識和動力，以及在各行各業中數學意識的增強，克服國內應用數學發展的不平衡，也許是中國數學面臨的嚴峻挑戰。
