無窮小簡史：一個數學概念與世界近代歷史的發展程序

吳靖

1632年8月10日，五個神秘的黑衣男子在一座昏暗的羅馬教堂裡集會，他們嚴肅地討論著一個看似簡單的命題——無窮小（Infinitesimals，亦稱不可分量）是否存在。討論的結果是，嚴令禁止無窮小的傳播，永遠不得傳授乃至提及無窮小的概念。

但這究竟是為什麼呢？難道教會就沒有別的什麼更重要的事情可做了嗎？他們又是出於怎樣的考慮，才會去禁止這樣一個看似毫不相干的數學概念呢？

是的，站在我們現代人的角度來看，無窮小這個概念，只不過是數學大家族中普普通通的一員，沒什麼了不起的。但在伽利略所處的17世紀，這一切可不是人們想象的那麼簡單——圍繞著無窮小概念的那場世紀大爭論（由此引出了重要的極限概念），甚至可以說是一場關乎現代世介面貌的史詩級戰爭。

古希臘與無窮小悖論

事實上，早在古希臘時期，無窮小量的概念就如一個鬼影般反覆出現在哲人們的腦海中，久久揮之不去。哲學家芝諾為此專門編寫了四個悖論，並給它們分別起了一個有趣的名字。比如，“阿喀琉斯追烏龜”證明，敏捷的阿喀琉斯永遠追不上緩慢的烏龜，雖然他的速度要比烏龜快得多，但他必須首先達到兩者距離的1/2位置，接下來是1/4位置，然後是1/8位置，以此類推，他將永遠追不上烏龜。然而，我們憑經驗卻認為，阿喀琉斯肯定會追上比他慢的對手，從而導致悖論。驚人巧合的是，幾乎在同一時期，中國先秦哲學家莊子在其《天下篇》中表達瞭如出一轍的思想：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”

“阿喀琉斯追烏龜”

同時，畢達哥拉斯的得意門生希帕索斯驚恐地發現了另一個神秘的“怪物”——無理數（Irrational number）。例如，正方形的邊與其對角線，用現代術語來說，我們稱這兩條線之間的比例是“根號2”，它是一個無理數，亦即兩條線之間沒有公約數。這意味著，無論你將這兩條線分成多少份，或者分割地多麼小，都永遠得不到它們之間的一個公約數。這就導致了一個問題，如果兩條線是不可通約的，那麼它們就沒有共同的組成部分，因此就不存在數學原子，也就是不可分量。這些由芝諾和畢達哥拉斯的追隨者們在公元前6世紀和公元前5世紀發現的古老難題，徹底改變了古代數學的程序。

如果正視這些難題和悖論，人們將不得不承認數學與物理世界之間達到一種完美契合的夢想是站不住腳的。無窮小在規模上，其數量與物理世界是不對應的，任何為實現兩者的契合所作的努力最終都導致了矛盾和悖論。儘管數學推理的自身條件是嚴格而正確的，但它還是不能告訴我們這個世界的真實面目。在萬物的核心似乎存在著一種神秘的東西，它能夠逃脫最嚴格的數學推理，使得那些信仰理性有序和永恆不變的世界的人們驚恐不安，更令人不安的是它在社會和政治上的影響，對於那些寄希望於現有等級制度和社會穩定的團隊來說，無窮小量似乎打開了一扇通往“叛亂”、“衝突”和“革命”大門。後來的兩次影響深遠的“無窮小戰爭”便是這一悖論的遙遠回聲。

從那時起，古典數學家們開始將視線從難以解決的無窮小問題上轉移開來，繼而關注幾何學清晰的系統化演繹推理。柏拉圖開創了這一領域，他把幾何學作為自己哲學體系中的正確理性推理的模型，並且傳說他還在自己學院的入口處刻上了“不懂幾何者不得入內”的標語。儘管亞里士多德在許多問題上都與他的老師柏拉圖見解不同，但他也贊同應該回避無窮小。在他的《物理學》第六冊中，他權威性地詳細討論了連續體悖論，並得出結論：無窮小概念是錯誤的，連續量可以被無限分割。

《物理學》

幸運的是，古代最偉大的數學家阿基米德充分認識到無窮小量這一概念作為一種數學工具的強大之處（儘管他也選擇忽視了無窮小悖論），為了計算圓柱體或球體的體積，他把它們分割成無窮多個平行面，然後透過對其表面積求和得出正確的答案。即使存在爭議，他仍然假設連續量是由不可分量構成，由此他最終得出了透過其他方式幾乎不可能得到的結果。遺憾的是，後世的數學家們均繞開了他的這種新穎的數學方法，轉而使用那些經過驗證的幾何方法以及不可辯駁的幾何真理。直到16世紀，弗蘭德、英國和義大利的一些數學家開始重拾阿基米德關於無窮小量的實驗，重新審視其可能性。同阿基米德一樣，他們計算了幾何圖形所圍成的面積和體積，並透過進一步計算運動物體的速度和曲線的斜率，而超越了這位古代大師。然而，這時距離阿基米德的時代已經過去了1800年。

於是，圍繞著無窮小的兩次世紀戰爭即將開啟，交戰的雙方分別是對現有政治權威與宗教制度的捍衛者，以及對學術自由和政治改革的倡導者。而這場思想之戰逐漸綿延到整個歐洲大陸，其中，最主要的兩個戰場分別是義大利和英國。在此，我們可以清晰地看到，一個看似簡單的數學概念——無窮小——如何不可思議地引發和導致兩個國家文明的盛衰轉折，從而深刻影響了歐洲乃至世界近代歷史的程序，並在很大程度上形塑了我們今天所生活的這個現代世界——它在方方面面都受到無窮小的影響和制約。

第一次“無窮小戰爭”與義大利的衰落

作為文藝復興運動的起源地，義大利自中世紀中期以來一直領導著整個歐洲在各個領域的發明創造，包括政治、經濟、藝術與科學。早在11-12世紀，義大利就誕生了第一批從黑暗時代興起的城市，它們不僅在停滯已久的商業經濟中發揮了至關重要的作用，還是不同政府形式的——從專制到共和——政治試驗的實際發生地。13世紀，義大利商人成了歐洲首批最富有的銀行家。從14世紀中葉開始，義大利領導了藝術和文化領域的復興運動，其影響遍及整個歐洲。從彼得拉克到皮科·德拉·米蘭多拉這樣的人文主義者，從喬託到波提切利這樣的畫家，從多納泰羅到米開朗基羅這樣的雕塑家，從布魯內萊斯基到貝尼尼這樣的建築師……這些傑出人才使義大利的文藝復興運動成為人類歷史的轉折點。在科學領域，從萊昂·巴蒂斯塔·阿爾博蒂到萊昂納多·皮薩諾·俾格萊 ，再到伽利略，義大利人對人類知識做出了重大貢獻，並開闢了數學研究的新篇章。

因此，所有人都期待著義大利——這個在創造力和創新性方面無與倫比的國家——將再次引領數學乃至科學發展的新方向。然而，令人意外的是，整個事件走向了完全相反的方向。17世紀初，無窮小量的支持者主要是“近代科學之父”伽利略和他的兩位弟子：卡瓦列裡和托里切利。在接到卡瓦列裡寄來的那封信之前，伽利略早已功成名就。當時的伽利略，正處在他一生中權力與聲譽的巔峰。但是，卡瓦列裡寄來的那封信，改變了這一切。

在信裡，卡瓦列裡提出了一個數學問題：假如我們給定一個具體的平面圖形，並在其中畫出一條直線，然後我們繼續在這個平面圖形當中，將所有能與第一條直線平行的直線全部畫出來，那麼，我們是否能將這些直線與這個平面圖形等同起來呢？這個問題看似簡單，但它卻直指無窮小問題的核心矛盾——我們可以在任何一個平面圖形上畫出無窮條直線，假如我們給每一條直線設定一個寬度，不管這個數值有多小，這無窮多條直線將會累積成一個無窮大的平面，而不是我們初始設定的那個具體的平面圖形，但假如每條直線的寬度都是零，無窮多條直線的寬度也依然是零，也無法得到我們給定的平面圖形。

《伽利略傳》

是的，正是這樣一個問題，兩千年來一直困擾著自畢達哥拉斯以來的數學家和哲學家們。伽利略被這封信激起了興趣，他很快給這個叫卡瓦列裡的年輕人寫了一封熱情洋溢的回信，鼓勵他繼續將這個問題研究下去，同時，伽利略自己也開始進入這個神秘的領域。然而，耶穌會對他們的研究進行了無情的排擠和打壓，這個旨在“培養學生對天主教絕對的盲目服從”的反宗教改革團體無法容忍無窮小量所帶來的無序、矛盾和非理性。對耶穌會來說，數學代表著一種嚴格的理性秩序，並幫助它規範外部無序的世界，就像它內部等級森嚴的管理模式一樣。最終，卡瓦列裡停下了腳步，並試圖退回到安全的距離，但這一切都無濟於事，在那些反對他的人看來，卡瓦列裡過去的所有研究方法，已經徹底違反了教會所允許的經典方法，他已經走得太遠了。

隨後，與卡瓦列裡同時代的另一位年輕人——托里切利接過了伽利略的火炬，將無窮小的研究推到了卡瓦列裡未曾企及的高度。他在一篇發表於1644年的名為“關於拋物線的面積”的論文中，創造了一種全新的，被他自己命名為“不可分量法”的數學方法——這的確是一項了不起的發現，它為後來的數學家們開闢出一條全新的道路。遺憾的是，被耶穌會強制軟禁長達十多年的伽利略，早已在兩年前就含恨離世了。而托里切利自己也因為積勞成疾，在1647年去世。這位天才的數學家，死去的時候年僅39歲，令人扼腕。一個月後，他的師兄卡瓦列裡也因病離世。

就這樣，耶穌會戰勝了無窮小的倡導者們，並佔據了絕對的統治地位，最後一位公開捍衛無窮小量學說的義大利數學家安傑利，在聖傑羅姆會於1668年被教皇突然解散後不再發聲。那個屬於伽利略、卡瓦列裡和托里切利的義大利天才輩出的數學黃金年代，在短短數年間煙消雲散了。至此，領導數學創新的重心悄然發生了偏移，它正在跨越阿爾卑斯山，向德國、法國、英國與瑞士發展。正是在這些北方國家，卡瓦列裡和托里切利的“不可分量法”將首先發展成“無窮小微積分”（infinitesimals calculus），然後又發展成了更廣泛的數學研究領域——分析學。義大利作為該學說的起源地，現在已經成了數學領域的一潭死水。18世紀60年代，當都靈年輕的數學天才拉格朗日力爭成為“偉大的幾何學家”時，他不得不離開故土，首先去了柏林，然後又到了巴黎。對於後世的人們來說，他一直是個法國人，約瑟夫·路易·拉格朗日——人類歷史上最偉大的數學家之一。

雖然第一次“無窮小戰爭”已經結束了，但如果是伽利略學派戰勝耶穌會的話，我們可以想象義大利將會朝著另一個方向發展。伽利略的學術思想很可能仍處於當時數學與科學的最前沿，並很有可能在18-19世紀引領數學與科學取得輝煌勝利。作為文藝復興運動的起源地，義大利將再次成為哲學、科學與文化的啟蒙中心，那些自由與民主的思想會來自於佛羅倫薩、米蘭和羅馬的廣場，而非來自於巴黎和倫敦。不難想象，義大利的許多小公國會為更具代表性的政府讓位，它的偉大城市會成為蓬勃發展的工業與商業中心，它們完全有實力與北部的對手展開競爭。但可悲的事實卻是：到17世紀末，無窮小學說已經被耶穌會完全鎮壓下去。在義大利，一場持續數百年的衰退和蕭條即將上演。

第二次“無窮小戰爭”與英國的崛起

伽利略死後18年，英國皇家學會於1660年成立。在之後的數百年間，它一直是世界上最權威的科學研究機構，歷史上許多最偉大的科學家，例如牛頓、拉瓦錫、富蘭克林、巴貝奇、開爾文、達爾文、盧瑟福、愛因斯坦，以及霍金，這一長串震古爍今的大人物，都曾是皇家學會的會員。而這裡，也將成為第二次“無窮小戰爭”的決勝之地。決戰的雙方已經登上了舞臺，一方是白髮蒼蒼的老者托馬斯·霍布斯，曾寫出《利維坦》這部政治學傑作的頂尖作家，同時也是有史以來最偉大的政治哲學家之一；另一方則是牛津大學的頂尖數學家約翰·沃利斯。針對霍布斯的數學方法和專制政治觀，兩人展開了一場長達數十年的鬥爭。

霍布斯與數學的邂逅可以算得上是一段奇遇。直到四十歲時，他才與數學結緣。據說，是因為他偶然在別人的書桌上看到了一本《幾何原本》，因為無聊便拿起來隨手翻閱。這隨意的一瞥，便為他打開了一扇新的大門。從此，霍布斯開始鑽研幾何學，認為“幾何學是迄今為止上帝賜予人類的唯一科學”，並以幾何學的嚴謹和系統來構建自己的政治哲學，這正是他在《利維坦》中所使用的推理方法：人的本性會導致自然狀態，從而導致內戰，從而導致個人意志的屈從，從而導致利維坦。因此，利維坦是唯一可行的政治秩序。而無窮小就像一個擅自闖入數學領域的不速之客，它破壞了明白無誤的數學合理性，進而又會破壞社會、宗教和政治的秩序。

《利維坦》

但是，霍布斯宿命中的對手約翰·沃利斯也登上了歷史舞臺，他是一位年輕的牧師，也是牛頓的劍橋學長。沃利斯早在求學於劍橋大學的時候，就對數學產生了極強的興趣。在沃利斯看來，知識的最高形式是基於感性的，是能夠“看出”甚至是“品嚐出”的真理——這正是沃利斯與霍布斯的根本分歧所在——霍布斯極為鄙視這種感性的知識。沃利斯可以說是義大利數學思想的傳承者，他繼承了卡瓦列裡和托里切利發現的“不可分量”思想，並於1656年在此基礎上寫成了《無窮算術》。在這部著作中，沃利斯向霍布斯發起了終極挑戰。他在書中天才般地引入了一個表示無窮大的符號∞，並用級數求圓面積的“化圓為方”法，體現了利用無窮小進行級數求和的思想。

兩人爭論的關鍵問題正是：霍布斯拒絕接受無窮小概念以及使用無窮小的數學方法。他堅持認為，數學必須從第一原理開始，一步一步地進行演繹推理，最終得出更為複雜但同樣具有確定性的真理。在這個證明過程中，所有的幾何物件都必須從簡單圖形開始進行構造，僅能利用簡單而且不證自明的對點、線、面等的定義。霍布斯相信，透過這種方式，可以構造出一個完全理性、絕對透明並且充分可知的世界。在這樣的世界中，將不會再有任何秘密可言，它的規則將像幾何法則一樣簡單而絕對，正如政治秩序中的利維坦。

相反，沃利斯的數學並沒有試圖構建一個數學世界，而是去研究這個客觀存在的世界。沃利斯的世界是神秘的、有待發現的，無窮小的模糊性也是一個積極的特徵，不能因為這種模糊性而抹殺它的存在。前進的道路本就是要小心地、實驗性地使用任何可能有效的方法，來揭開世界的奧秘。任何試圖構造一個完全理性的世界的企圖，只會是一條死路。同時，霍布斯視為混亂與衝突根源的異議（以及產生異議的線索）在沃利斯看來並不可怕，而恰恰為數學提供了另一種可能的選擇。沃利斯和皇家學會的其他成員認為，正是教條主義和不寬容導致了17世紀40-50年代的災難。

約翰·沃利斯

兩人之間這場曠日持久的鬥爭持續了將近20年。霍布斯更加文采出眾和才思敏捷，但沃利斯擁有更高的譴責熱情和聲勢。沃利斯很好地利用了自己在牛津大學和皇家學會的職位優勢，逐步孤立了霍布斯，並在英國學術界詆譭他的聲譽。隨著時間的推移，霍布斯不再被視為一個驚人敬畏的科學家和數學家，而只是一位政治哲學家。最終，沃利斯贏了！他的《無窮算術》得到了英國數學界的一致認可，更重要的是，一位劍橋大學的年輕學生從這本著作中得到了許多有益的啟發——這位學生名叫伊薩克·牛頓。

1665年，23歲的牛頓受到沃利斯《無窮算術》的啟發，發明了自己版本的無窮小數學。在接下來的幾十年裡，牛頓的微積分，以及其競爭對手萊布尼茲的微積分，均得到了廣泛流傳。此後，微積分轉化為了大量的數學實踐和眾多的數學分支領域。數學分析——這個以微積分為起點的新興數學領域，成為18世紀數學的主要分支，並且成為該學科的主要支柱之一。它使數學研究能夠應用到幾乎所有領域，從行星運動到琴絃振動，從蒸汽機到電動力學——幾乎囊括了從古至今的物理學的各個領域。這是一場偉大的數學革命，這場革命將改變未來的整個世界和人類歷史。

就這樣，歷史像開了一個大大的玩笑：在義大利，耶穌會戰勝了伽利略學派；而在英國，則是沃利斯戰勝了霍布斯。如果請一位17世紀30年代的觀察家來預測數學在兩個國家的命運的話，他幾乎會得出完全相反的預測結論。義大利一直保持著傑出的數學傳統，而英國在之前從來沒有出現過任何一位著名的幾何學家。但是，真實的歷史發展卻出乎所有人的意料。針對無窮小的兩次戰爭之後，高等數學在義大利停止了發展步伐，而英國的數學迅速崛起，成為歐洲主要的具有數學傳統的國家，或許只有法國可以與之一爭高下，這為後來日不落帝國的崛起和興盛奠定了重要基礎。

無窮小與現代世界

眾所周知，牛頓利用微積分建立了一門新的物理學，並與萬有引力一起在數學上描述了整個“世界體系”。牛頓劃時代的鉅著《自然哲學的數學原理》遲至1687年才首次出版，此時霍布斯已經去世8年。如果傲慢的霍布斯有生之年能夠看到這一切，真不知該作何感想。牛頓的豐碩成果在18世紀得到了延續，一些傑出的數學家如丹尼爾·伯努利、萊昂哈德·尤拉以及讓·達朗貝爾，他們為流動的運動、弦的振動以及氣流等提供了一般性的數學描述。他們的繼承者拉格朗日和拉普拉斯已經能用一組精確的“微分方程”（differential equations）來描述宇宙萬物的執行機制了。從當時直到現在，數學分析（更廣泛的微積分形式）一直是物理學家用來解釋自然現象的基本工具。

《自然哲學的數學原理》

更重要的是，微積分對工程技術產生了革命性的深遠影響。19世紀，由約瑟夫·傅立葉發明的熱傳導數學理論，以及由威廉·湯姆森發明的熱力學，使設計和生產更加高效的蒸汽機成為可能。19世紀60年代，詹姆斯·克拉克·麥克斯韋發明了著名的“麥克斯韋方程”，即一組描述電場、磁場與電荷密度、電流密度之間關係的堪稱完美的偏微分方程。後來，電動機、發電機以及無線通訊的發明都得益於他的研究成果。此外，微積分在很多領域都起到了基礎性作用，包括空氣動力學（使空中旅行成為可能）、流體力學（航運、水的收集與分配）、電子學、土木工程、建築學、商業模式等等。顯而易見的是，如果沒有無窮小概念，便沒有微積分及其思想，那麼我們身處的這個現代世界將變得難以想象的貧乏與落後。

當然，關於無窮小的戰爭也改變了人類近現代歷史的程序。在義大利逐漸落後的年代裡，英國成長為最有活力、最富遠見以及發展最快的歐洲國家。長期以來被視為野蠻與半野蠻的英國，一直處於歐洲文明的北部邊緣。但自18世紀以來，它不僅成為歐洲文化和科學的前沿陣地，而且是政治多元化和經濟成功的典範。在此，呈現的是現代性的另一番景象，它在各個方面都與義大利相反：在這裡沒有教條的一致性，對於異議和多元化展現出了空前的開放性。在政治、宗教和經濟上，英國都成了一個可以包容多種聲音的國家。在這裡，可以公開爭論相互對立的觀點和利益，基本沒有壓迫政策，這種自由和民主使得英國走上了獲取財富和權力的道路。或許，當我們回眸20世紀的慘烈歷史時，會更加懂得為何義大利產生了墨索里尼這樣的法西斯獨裁者，而英國成了世界反法西斯戰爭的重要力量。

放眼當時的英國，政治和宗教的多元化與科學、學術和經濟的開放性可謂齊頭並進，相得益彰。在光榮革命之後，隨之而來的是1689年的《寬容法案》，它保證那些不信仰國教的新教教徒免受迫害。倫敦皇家學會與法國科學院很快成為歐洲乃至全世界領先的科學研究機構，英國的科學為整個歐洲樹立了標準。在學術界，英國成為了哲學與政治的公共辯論場所，其中一些傑出人物如約翰·洛克、喬納森·斯威夫特以及艾德蒙·伯克採取了反對立場，但仍有傑出的論斷。政治自由化也促進了經濟自由化和空前的私有企業規模。累積的資本和不斷擴大的車間規模使投資於新技術變得有利可圖，特別是蒸汽機。其結果便是，到18世紀後期，英國稱為全世界第一個工業化國家，遙遙領先於其在歐洲大陸的所有對手。

連續體是否由無窮小量構成，這似乎從來都是一個難解的問題，我們很難準確衡量它所釋放的全部能量。但當這兩場影響深遠的戰爭在17世紀被引燃的時候，處於交戰的雙方都認為，對於即將到來的現代世界，這個問題的答案將會影響到人類生活的方方面面。他們是正確的：當一切塵埃落定的時候，無窮小量的捍衛者贏得了最終勝利，他們的敵人被擊敗了。於是，一個煥然一新的現代世界呈現在所有人的面前。

最後，向阿基米德致敬，向伽利略致敬，向沃利斯致敬，向所有無窮小量學說的捍衛者們致敬！沒有他們，就沒有我們現在身處的這個美麗新世界。

責任編輯：臧繼賢

校對：施鋆