根號-1等於多少？上過高中的人都知道，它不是實數，而是虛數，一般寫作i。複數就是形如z = x + yi的數，其中x和y是兩個實數。請問，複數是不是描述物理世界所必需的？這個問題意外的深奧，最近剛剛由中國科學家得到一個明確的答案（http://news.ustc.edu.cn/info/1055/78317.htm）。
在二十世紀之前，普遍的看法是，複數只是一種數學構造，並不是物理理論的必需。例如用複數可以方便地描述波動或者電路，但這只是一種數學技巧。完全用實數也足以描述這些現象，只是稍微麻煩一點而已。因為說到底，可觀測的所有物理量都是實數，例如位置、動量、角動量、質量。實際上，“虛數”這個名字就隱含著“跟現實無關”的意思。
然而二十世紀初，量子力學出現之後，情況發生了翻天覆地的變化。量子力學裡描述一個體系的數學形式叫做波函式，往往寫作ψ，它是一個複函式。量子力學裡的基本方程叫做薛定諤方程，它是一個複數方程。薛定諤的墓碑上就刻著這個方程，i ℏ ψ dot = H ψ。你看，第一個字母就是虛數單位i！
所以一百年來，包括我在內的所有學過量子力學的人，都記住了複數是量子力學裡必不可少的。楊振寧先生評論過：“量子力學是人類歷史上一個大革命，發展以後，發現基本物理裡頭要用到i = 根號-1。念過高中數學的人，恐怕還記得這個i。它在量子力學以前也出現過，可是不是基本的，只是一個工具。到了量子力學發展以後，它就不只是個工具，而是一個基本觀念了。為什麼基礎物理學必須用這個抽象的數學觀念：虛數i，現在沒有人能解釋。”
你可能會問，難道量子力學裡的物理量不是實數了嗎？難道你會測得一個體系的位置或動量是虛數嗎？回答是不會，量子力學仍然會保證所有這些量都是實數，——在經過一系列的複數運算之後。這就是量子力學的精妙之處。例如單粒子的波函式ψ是一個關於粒子座標x, y, z的函式，ψ在(x, y, z)這一點的絕對值的平方就是粒子出現在這一點的機率密度。複數取了絕對值當然就是實數了，大家明白這意思了吧？
然而，一直有些理論家在努力地嘗試把量子力學純粹用實數表達出來。也就是說，他們希望把複數在量子力學中的作用降低到在波動理論或電路理論中的水平，即有用但非本質。其實對於單粒子體系，這樣的理論很容易構造。因為一個複數就相當於兩個實數，一個實部加一個虛部，所以把變數數目加倍就行了。用專業語言說，就是把希爾伯特空間的維度加倍，這樣就可以構造一個跟標準理論完全等價的純實數理論。
然而量子力學最奇妙的地方並不在於單粒子，而在於多個粒子之間的量子糾纏。大家看我最近出版的科普書《量子資訊簡話》，就可以明白量子糾纏是什麼意思，它為什麼如此奇妙。
用專業語言說，量子糾纏推翻了“局域實在論”，即真實世界或者不是局域的，或者不是實在的，或者兩者都不是。所以對於純實數理論來說，真正的考驗在於，它能不能跟標準理論同樣好地描述量子糾纏？
近年來，這方面的努力取得了出人意料的進展（https://www.nature.com/articles/d41586-021-03678-x）。如果兩個糾纏的粒子由同一個粒子源產生，但分開測量，實數理論能不能描述呢？2008年得到了結論：它可以。然後人們又問：如果同一個粒子源產生任意多個糾纏的粒子，然後分開測量，實數理論能不能描述呢？2013年又得到了結論：它仍然可以！
算上最初的單粒子體系，實數理論已經連闖了三關。這時人們開始猜測，也許它可以透過所有考驗，也就是說，對於任何可以設想的實驗，實數理論都可以得到跟標準理論相同的結論。假如真是這樣，複數在量子力學中的作用就不是本質的了，教科書就要修改了。
然而，真正出人意料的是，實數理論氣勢如虹的進展居然被阻止了！
2021年12月15日，西班牙、奧地利、瑞士科學家Renou等人在《Nature》發表文章，標題是《基於實數的量子理論可以被實驗證偽》（Quantum theory based on real numbers can be experimentally falsified）（https://www.nature.com/articles/s41586-021-04160-4）。他們指出，可以構造這樣的實驗：兩個粒子源各自產生一對糾纏粒子，然後送到三個探測器。一號粒子源產生的是A和B1，二號粒子源產生的是B2和C。A和C分別進入最左邊和最右邊的探測器，而B1和B2進入中間的探測器，在這裡對這兩個粒子進行一個糾纏態的測量，也就是說強迫這兩個原本不糾纏的粒子變得糾纏起來。這個過程叫做“糾纏交換”，因為最終會導致兩端的A和C也產生了糾纏。他們證明了，這個過程用實數理論是無法描述的。無論把實數理論怎麼修改，對某些值的預測都會跟標準理論的預測值有區別。
實驗框架提出來了，下一步就是真正去做實驗了。2022年1月，中國的兩個實驗組就用兩種物理體系實現了這個測量。我的中國科學技術大學同事潘建偉院士、陸朝陽教授、朱曉波教授等人和西班牙塞維利亞大學Cabello教授合作，用的是超導體系。南方科技大學範靖雲、楊勝軍、李正達等人和電子科技大學王子竹以及西班牙、瑞士、奧地利等國家的科學家合作，用的是光學體系。
南科大團隊實驗場景
兩個實驗都得到了否定實數理論的結論，只是否定的力度不一樣（https://baijiahao.baidu.com/s?id=1723374973319653921）。中科大的實驗結果是以43個標準差排除了實數理論，這是一個高得驚人的置信度，因為5個標準差下統計誤差的機率就只有千萬分之三了，43個標準差簡直是實錘的八次方。而南科大的實驗結果只有4.5個標準差，置信度就低了一點，當然這跟體系有關。但無論對於哪種物理體系，這都是難度很高的實驗。兩個實驗組都展現了高超的技術，這些技術會在很多領域發揮作用。
中科大團隊實驗結果
這些實驗說明，複數仍然是量子力學中不可或缺的。例如，美國物理學會對此的評論文章標題就是《量子力學必須是複數的》（Quantum mechanics must be complex）（https://physics.aps.org/articles/v15/7）。經過一輪否定之否定，我們再次確認了教科書上的標準理論。然而，我們的世界為什麼會需要複數？背後有什麼深層的原因？這啟發我們更多的思考與探索。
最後說一句，有些媒體沒有搞明白這些研究的背景，例如說“如果複數有物理意義而不再是數學工具，整個物理學的根基都會改變了”。實際上，學過量子力學就會知道，這個改變早已在一百年前發生過了！
