摘要：本文介紹了量子純態正交化的一般方法和一些技巧.以相干態為例,基於產生算符構造出相應的正交態,並研究了平均光子數、光子數分佈和Wigner函式3種屬性,且與原相干態和光子增加相干態進行了對比分析.
關鍵詞： 正交化 正交態 相干態 量子力學 量子純態
在量子力學領域,如果兩個量子純態|ψ1〉和|ψ2〉的內積為零(即〈ψ1|ψ2〉=0),那麼這兩個量子態相互之間是正交的,且它們之間是最可分辨的[1].對於二態(二進位制,二元)的經典系統,通常用0和1來描述兩個狀態,這兩個狀態之間是正交的,且是嚴格可區分的,它們之間可以透過非門操作實現交換.但在量子力學中,由於量子態的疊加原理,透過一個簡單的0和1交換,並不能將一個量子態轉換為其正交態.例如一個極端情形,疊加態|0〉+|1〉透過交換仍保持不變.也就是說,如果預先不知道量子態,那種能直接將量子態變成其正交態的普適量子非門操作是不存在的[2].
在常見量子純態中,有些量子態可能有很多現成的正交態.比如說,任何兩個不同的Fock態之間是正交的,而對於兩個不同的相干態,通常是不正交的.但由於相干態可以看成平移真空態,相應的平移非零Fock態都是其正交態[3].本文所要探討的問題是:對於一個已知的量子純態,我們是否有比較一般或普適的方法找到它的正交量子態呢?最近Coelho等人提出了一種方法,可以給無限維的量子純態找到正交量子態[4].本文我們把這個方法在這裡詳細介紹一下,並展示我們在處理這類問題的一些技巧.相信這個方法對國內從事正交量子態研究的人員有一定的參考和借鑑意義.
1、正交化方法
首先必須明確所需要正交化的物件,即量子純態|ψ〉,以及恰當選取的某種操作算符Cˆ.C^.很顯然,如果直接將CˆC^作用到態|ψ〉上,可以得到直接作用態:
|ψC⟩=1NC√Cˆ|ψ⟩|ψC〉=1ΝCC^|ψ〉(1)
這裡的歸一化係數NC=⟨ψ|Cˆ†C|ψ⟩ΝC=〈ψ|C^†C|ψ〉.而透過另一種操作方法,則可以實現量子純態的正交化.
量子態|ψ〉正交化的基本過程如下:首先,計算算符CˆC^在該量子態|ψ〉下的期望值:
⟨Cˆ⟩|ψ⟩=⟨ψ|Cˆ|ψ⟩〈C^〉|ψ〉=〈ψ|C^|ψ〉(2)
然後構造正交子算符OˆCΟ^C,即
OˆC=Cˆ−⟨Cˆ⟩|ψ⟩IˆΟ^C=C^-〈C^〉|ψ〉Ι^(3)
這裡IˆΙ^是單位算符,然後將正交子算符OˆCΟ^C作用在|ψ〉上,從而得到正交量子態:
|ψ⊥⟩=1N⊥√OˆC|ψ⟩|ψ⊥〉=1Ν⊥Ο^C|ψ〉(4)
這裡的歸一化係數N⊥=NC−∣∣∣∣⟨Cˆ⟩|ψ⟩∣∣∣∣2.Ν⊥=ΝC-|〈C^〉|ψ〉|2.
這裡需要說明一下,算符CˆC^原則上可以任意選取,但當|ψ〉恰好是CˆC^的本徵態時,以上操作程式不能使用,因為正交化操作的成功機率將下降為0(即N⊥=0),因此應恰當選取算符Cˆ.C^.根據以上方法,對於同一個量子純態,選取不同的算符,可以得到相應的不同正交量子態.
透過上面的介紹發現,量子態的正交化過程涉及到一個量子純態和恰當的算符,很自然會讓人想到與其相關的量子態之間的優劣比較.實際上,這些相關量子態包括原態|ψ〉,直接作用態|ψC〉和正交量子態|ψ⊥〉.如果要研究量子態的屬性,並假定該屬性可以用算符MˆΜ^來描寫,其期望值⟨Mˆ⟩〈Μ^〉對應著屬性特徵.對於原態|ψ〉有
⟨Mˆ⟩|ψ⟩=⟨ψ|Mˆ|ψ⟩〈Μ^〉|ψ〉=〈ψ|Μ^|ψ〉(5)
對於直接作用態|ψC〉有
⟨Mˆ⟩|ψC⟩=⟨ψ|Cˆ†MˆCˆ|ψ⟩NC〈Μ^〉|ψC〉=〈ψ|C^†Μ^C^|ψ〉ΝC(6)
而對於正交量子態|ψ⊥〉有
⟨Mˆ⟩|ψ⊥⟩=⟨ψ|Cˆ†MˆCˆ|ψ⟩N⊥+⟨Cˆ⟩∗|ψ⟩⟨ψ|Mˆ|ψ⟩⟨Cˆ⟩|ψ⟩N⊥− ⟨Cˆ⟩∗|ψ⟩⟨ψ|MˆCˆ|ψ⟩N⊥−⟨ψ|Cˆ†Mˆ|ψ⟩⟨Cˆ⟩|ψ⟩N⊥ (7)〈Μ^〉|ψ⊥〉=〈ψ|C^†Μ^C^|ψ〉Ν⊥+〈C^〉|ψ〉*〈ψ|Μ^|ψ〉〈C^〉|ψ〉Ν⊥- 〈C^〉|ψ〉*〈ψ|Μ^C^|ψ〉Ν⊥-〈ψ|C^†Μ^|ψ〉〈C^〉|ψ〉Ν⊥ (7)
這樣,我們就可以對3種相關量子態的屬性進行研究和對比分析.
2、例項分析
這一節我們舉個例子,幫助大家強化對上面相關內容的理解,探討量子態正交化方面的研究套路和問題思考.本文我們選取相干態|α〉作為|ψ〉,產生算符a†作為CˆC^的情形作為例子.這裡涉及到3個量子態,即相干態[5](原態):
|α〉=eαa†-α*a|0〉(8)
光子增加相干態(直接作用態):
|αa⟩=11+|α|2√a†|α⟩|αa〉=11+|α|2a†|α〉(9)
以及相應的正交態:
|α⊥⟩=(a†−α∗Iˆ)|α⟩|α⊥〉=(a†-α*Ι^)|α〉(10)
這裡,⟨a†⟩|α⟩=α∗,NC=1+|α|2,N⊥=1〈a†〉|α〉=α*,ΝC=1+|α|2,Ν⊥=1.另外,以下計算過程中,我們常用到
a|α〉=α|α〉(11)
aa†−a†a=Iˆaa†-a†a=Ι^(12)
接下來,我們討論平均光子數、光子數分佈和Wigner函式(分別用算符Mˆ1,Mˆ2Μ^1,Μ^2和Mˆ3Μ^3來描述)3種屬性,針對3個量子態進行對比分析.
2.1平均光子數
量子態的平均光子數定義為
n¯=⟨a†a⟩n¯=〈a†a〉(13)
根據前面的操作流程,此時
Mˆ1=a†aΜ^1=a†a(14)
這樣我們可得到|α〉的平均光子數:
n¯|α⟩=|α|2n¯|α〉=|α|2(15)
|αa〉的平均光子數:
n¯|αa⟩=|α|4+3|α|2+11+|α|2n¯|αa〉=|α|4+3|α|2+11+|α|2(16)
和|α⊥〉的平均光子數:
n¯|α⊥⟩=1+|α|2n¯|α⊥〉=1+|α|2(17)
在圖1中,我們繪製了當α=1+i時,|α〉、|αa〉和|α⊥〉3種量子態的平均光子數n¯n¯隨|α|2|α|2的變化情形.結果發現,對於同|α|2|α|2的情況下,總滿足n¯|α⟩
圖1平均光子數n¯隨|α|2的變化曲線(實線、虛線、虛點線分別對應態|α〉、|αa〉、|α⊥〉)
2.2光子數分佈
量子態的光子數分佈定義為
P(n)=⟨(|n⟩⟨n|)⟩Ρ(n)=〈(|n〉〈n|)〉(18)
根據前面的操作流程,此時
Mˆ2=|n⟩⟨n|Μ^2=|n〉〈n|(19)
利用相干態的粒子數表象展開公式:
⟨n|α⟩=e−|α|22αnn!√〈n|α〉=e-|α|22αnn!(20)
得到|α〉的光子數分佈:
P|α⟩(n)=e−|α|2|α|2nn!Ρ|α〉(n)=e-|α|2|α|2nn!(21)
|αa〉的光子數分佈:
P|αa⟩(n)=ne−|α|2|α|2(n−1)(n−1)!(1+|α|2)Ρ|αa〉(n)=ne-|α|2|α|2(n-1)(n-1)!(1+|α|2)(22)
和|α⊥〉的光子數分佈:
P|α⊥⟩(n)=ne−|α|2|α|2(n−1)(n−1)!+e−|α|2|α|2(n+1)n!− 2e−|α|2|α|2n(n−1)! (23)Ρ|α⊥〉(n)=ne-|α|2|α|2(n-1)(n-1)!+e-|α|2|α|2(n+1)n!- 2e-|α|2|α|2n(n-1)! (23)
這裡利用了a|n⟩=n√|n−1⟩.a|n〉=n|n-1〉.
在圖2中,我們繪製了當α=1+i時,|α〉、|αa〉和|α⊥〉3種量子態的光子數分佈圖.結果發現,對|α〉,其呈現泊松分佈的特點;對|αa〉,相比|α〉來說,分佈向大光子數移動,且不含|0〉光子成分;而對於|α⊥〉,其實際上是|α〉和|αa〉的特定相干疊加,是兩者的分佈特點的一種疊加,且有可能造成某種成分的缺失.比如,當α=1+i時,|2〉光子成分的分佈機率為零.
圖2光子數分佈圖形
2.3Wigner函式
量子態的Wigner函式負值部分來判斷其非經典性特點.Wigner函式可定義為
W(β)=⟨2πW(β)=〈2π:e-2(a†-β*)(a-β):〉(24)
這裡:…:表示正規排序,表示產生算符a†總在湮沒算符a的左邊[6],且β=(x+iy)/2√β=(x+iy)/2.根據前面的操作流程,此時
Mˆ3=2πΜ^3=2π:e-2(a†-β*)(a-β):(25)
得到|α〉的Wigner函式為
W|α⟩(β)=2e−2|α−β|2πW|α〉(β)=2e-2|α-β|2π(26)
|αa〉的Wigner函式為
W|αa⟩(β)=2e−2|α−β|2π(1+|α|2)(|α−2β|2−1)W|αa〉(β)=2e-2|α-β|2π(1+|α|2)(|α-2β|2-1)(27)
以及|α⊥〉的Wigner函式為
W|α⊥⟩(β)=2e−2|α−β|2π(4|α−β|2−1)W|α⊥〉(β)=2e-2|α-β|2π(4|α-β|2-1)(28)
在圖3中,我們繪製了當α=1+i時,|α〉、|αa〉和|α⊥〉3種量子態的Wigner函式分佈情況.很明顯,|α〉的Wigner函式具有高斯形式,其分佈圖形無負部區域(見圖3(a));|αa〉的Wigner函式由於項|α−2β|2−1|α-2β|2-1的存在,已失去了高斯形式,當|α−2β|2<1|α-2β|2<1時,其分佈圖形出現負部區域(見圖3(b));|α⊥〉的Wigner函式由於項4|α−β|2−14|α-β|2-1的存在,已失去了高斯形式,當|α−β|2<1/4|α-β|2<1/4時,其分佈圖形出現負部區域(見圖3(c)).
圖3Wigner函式分佈情況
3、小結
綜上所述,我們介紹了一種量子態正交化的一般方法,並展示了處理相關問題的技巧.以一個例項來驗證這個方法和技巧的操作細節和具體過程.我們給出了相應研究屬性的解析表示式,並進行了數值模擬.本文所介紹的方法和研究思路,過程簡潔、思路清晰,有助於增強大學生對量子力學和量子光學課程中有關量子態性質運算的理解和認識,值得在教學中推廣應用.實際上,我們本文所舉的例子是選取一個較簡單的算符對相干態進行正交化.而在我們的最近發表的幾個工作中,我們選取了較複雜的算符,實現了對相干態和單模壓縮真空態的正交化[7,8,9,10].
