讀創/深圳商報記者 陳姝
2月4日12時，《張朝陽的物理課》第二十五期如期開播。搜狐創始人、董事局主席兼CEO張朝陽坐鎮搜狐影片直播間，開講諧振子問題。經歷了前幾節課對薛定諤方程的詳細求解，這節課先是回顧了最初的氫原子的二體薛定諤方程的質心運動與相對運動的分解、角向與徑向的分解，最終求得完備算符集的共同本徵函式，得到氫原子的波函式和相應的能級，並且從氫原子拓展到其它多電子原子。接著張朝陽開始討論與氫原子問題同樣重要的諧振子模型，簡介了其重要性與普偏性，並預告下節課將要推導的諧振子能級及其應用。
恰逢正月初四，張朝陽在直播間先給網友拜年，“我們花了很多課，來講量子力學和氫原子問題。”他說，“今天，我們要來討論與氫原子同等重要的諧振子問題。我們來認識一下它的重要性和普遍性。”
回顧氫原子問題 跳出細節、俯瞰全域性
張朝陽帶著網友複習之前講過的重點內容。“氫原子是電子和質子由於庫倫勢的吸引而組成的，是二體系統。”他介紹說，“這種系統的薛定諤方程不好直接求解。”
此前的課程揭示，解決思路並不複雜。由於庫倫勢只跟電子和質子之間的相對距離有關，所以，可將二體系統的定態薛定諤方程，分解為質心運動部分與相對運動部分。質心運動部分非常容易直接求解，並且與氫原子的內部結構無關。重點只需關注相對運動部分的定態薛定諤方程。
為了更便捷地求解，張朝陽引入角動量算符的概念，他表示，“相對運動的哈密頓量算符，可表示為徑向動能與角動量算符的平方的組合。”透過繁複的公式推導，他和網友們得出一個結論：哈密頓算符，角動量算符的平方，以及角動量算符的z分量，三者是相互對易的，它們構成一組完備的算符集。“也就是說，只需求得算符集的共同本徵函式，即可求得定態薛定諤方程的解。”他說。
他繼續解說，由於電子與質子之間的庫倫勢，與它們之間的方位無關，只與相對距離有關，故相對運動部分的定態薛定諤方程，可分為角向部分與徑向部分。透過求解角動量算符的平方與角動量算符的z分量的共同本徵函式，可求得角向部分的波函式，以及相應的分立的量子數。至於徑向部分，則可透過分析r趨於0與r趨於無窮時候的漸進行為和邊界條件對徑向薛定諤方程進行變形與化簡，最終用級數展開的方法求得徑向波函式及對應的量子數，並最終求得氫原子的能級。
他告訴網友，“根據分離變數法，將求得的角向波函式與徑向波函式乘起來，就得到了完整的氫原子波函式，從而完成氫原子薛定諤方程的求解。”
研究多電子原子 考慮庫倫排斥引入遮蔽效應
“完成氫原子薛定諤方程的求解，並得到氫原子的波函式和能級後，就能知道原子核外電子如何繞核運動。”他解釋說，解得的氫原子波函式用三個量子數描述，分別為主量子數n，角量子數l與磁量子數m。能級只與n有關，在同一能量下，角量子數可取n個值，從0取到n-1，電子繞核運動的軌道分別命名為ns，np，nd，nf…..；在確定的角動量l下，磁量子數m可取2l+1個值，從-l到+l。
張朝陽將氫原子的這些電子軌道擴充套件到多電子原子體系。“氫原子以外的其他原子都有多個電子，電子之間有排斥的庫倫相互作用，定量地直接求解這些三體以上的薛定諤方程是非常困難的，”他指出問題所在和解決方法，“這裡就做一些近似與假設，來定性地討論。”
“先來看除了氫原子以外最簡單的原子，氦原子。”他帶著網友一步一步推導。氦原子的兩個電子都在1s層，假設它們是球形分佈在原子核周圍的，由於電子之間的庫倫排斥力，其中一個電子感受到的原子核電荷數將受到遮蔽，透過變分法計算，氦原子的電子感受到的核電荷數Z不再是2，而是27/16。於是可以等效地認為電子之間相互獨立，只是它們感受到的核電荷數會由於遮蔽而減小。
再看鋰原子，它有三個電子，根據泡利不相容原理以及上述討論的量子數取值範圍，1s軌道只能填充兩個不同自旋取向的電子，第三個電子只能被擠到2s軌道了。但由於2s軌道在1s軌道外面，內層的兩個電子會強烈遮蔽2s電子感受到的核電荷數，經過簡單計算與分析，雖然2s電子感受到的核電荷數不是簡單地減小2，但受到的遮蔽效應遠遠比氦原子電子受到的同一層電子的遮蔽效應要大得多。
透過解釋氦原子與鋰原子，張朝陽告訴網友，同一殼層電子的遮蔽與不同殼層的遮蔽後，就可以定性地知道其它多電子原子的核外電子如何排布了，從而對一些化學問題得到初步的解釋。
振動、聲子與比熱 從諧振子模型說起
“除氫原子外，諧振子也是量子力學中非常重要的研究物件，並且其薛定諤方程跟氫原子一樣有解析解。”張朝陽繼續講解，諧振子模型中物體振動時的恢復力，與物體偏離平衡位置的距離成正比，並且受力方向總是指向平衡位置。對於一個有穩定平衡點的體系，在勢能極小值點附近常常可以近似為諧振子勢，這一模型體系在物理中非常普遍的。
例如經典力學中，聲波里空氣的振動，彈鋼琴時琴絃的振動、小角度的單擺；又例如量子力學中的黑體輻射，雙原子分子的振動動，超導體中的聲子等等。張朝陽還預告下節課將求解諧振子薛定諤方程並得到相應能級。
他解釋，其中，n是大於等於0 的整數，也就是說諧振子的能級是分立且等間距的，這與經典力學非常不同，但是與普朗克推導黑體輻射時的假設一致，從而得到正確的黑體輻射公式。
另外需要注意的是，諧振子能量的最小值不為0，這能解釋雙原子分子的比熱問題。雙原子分子有三個質心平動自由度、兩個轉動自由度、一個振動自由度，除了這些動能的自由度外，雙原子分子之間的一個振動自由度對應的勢能也可以儲存能量，也貢獻一個自由度，這樣一共有7個自由度，按照能均分定理，其總內能應該是7/2kT，但是實驗測其比熱容表明其內能是5/2kT。
這正是因為振動能的最小值不為0，並且比其它自由度的最小激發能都大，在常溫下分配給各個自由度的能量只夠激發其它自由度的能量，有關振動的自由度被凍結了，於是有效的自由度從5變成7了。
他說，“總之，求解諧振子的薛定諤方程，不僅能再次熟悉薛定諤方程的解法，得到的結論還有非常多的物理應用，所以下節課將對其展開深入的研究。”
搜狐影片發力知識直播 傳播知識玩轉科學
自11月5日至今，《張朝陽的物理課》已直播二十多期。在第一、二課中，張朝陽科普了“力”和“速度”，算出馬斯克的飛船和中國空間站每日繞地飛行圈數；第三、四課和“振動”相關，科普可見光的基本知識；第五、六課引發了關於音速和溫度的大討論；在第七、八、九課重溫經典物理學的兩朵烏雲。
第十、十一課重點回顧黑體輻射曲線及其應用；第十二、十三、十四課嘗試進入愛因斯坦的思想世界，推匯出著名的公式“E=mc²”，並論證鐘慢尺縮效應；第十五課講解了原子的結構和原子核的衰變；第十六課開始進入量子力學，討論光的波粒二象性、康普頓散射、海森堡不確定性原理，以及薛定諤方程等。
從二十多期的物理課可以看出，《張朝陽的物理課》的直播風格獨樹一幟——透過觀察日常生活現象、用網友最熟悉的話題來提升興趣，再以公式推導的方式解釋其背後的物理原理，“透過現象看本質”，進而反過來解決生活中的類似問題。
張朝陽認為研究自然界是特別有意思的事情，他希望物理課的受眾能保有好奇心，“在好奇心驅使下，瞭解自然界的奧秘，瞭解我們在這個世界生存的道理”。在後續課程中，他還將繼續以這種直播風格解釋生活中常見的物理現象，讓普通人能夠聽懂、專業人士也能認可，激發科學學習的熱潮。該課程於每週週五、週日12時在搜狐影片直播。同時，網友可以在搜狐影片“關注流”中搜索“張朝陽”，觀看往期完整影片回放。
除《張朝陽的物理課》外，搜狐影片也邀請各專業領域頭部播主入駐，直播科普知識，傳遞價值。北京交通大學理學院教師陳徵博士玩起了“奇趣的科學實驗”，走進“光的波粒二象性”；康奈爾大學物理化學博士包坤，化身“包大人玩科學”，教普通人看懂2021年諾貝爾獎；還有天體物理博士劉博洋科普“日全食是怎麼產生的”等，近期走紅的理論物理博士後周思益，也來搜狐影片開通“弦論世界”直播課。未來，還將有更多知識播主入駐，一起互動玩轉科學。
審讀：喻方華
