1 導讀
許多學者對機械超材料開展了研究，在變形機理、力學效能、能量吸收、層次結構設計和工程應用等方面發表了大量的研究成果。星形蜂窩是一種典型的機械超材料，二維星形蜂窩(2DSSHs)由於其豐富的內部空間和重入角而表現出有效的負泊松比，而三維星形蜂窩(3DSSHs)尖端角度的可調性有限，其強度和變形仍然受到限制。
2022年，力學TOP期刊《Composite Structures》發表了河北工業大學和天津大學在改進三維星形蜂窩方面的研究工作，論文標題為“Design 3D improved star-shaped honeycomb with different tip angles from 2D analytical star-shaped model”，第一作者為河北工業大學機械工程學院的劉海濤副教授。
在本文中，作者提出了改進的星形蜂窩(ISSHs)，透過增加重入角（re-entrant angles）來取代尖角（tip angles），並發展了從二維到三維的幾何擴充套件。透過理論計算、實驗結果和數值模擬，說明了尖重入角（tip re-entrant angle）對有效楊氏模量和有效泊松比的影響。此外，還詳細討論了外角（external angle）、斜杆寬度（oblique rod breadth）和支柱厚度（strut thickness）對有效楊氏模量和泊松比的影響。最後，基於二維ISSH的特性，討論了三維ISSH模型的承載強度強度。該研究為3DSSH提供了更好的可參考性，特別是其強度和可調性。
2 星形蜂窩結構設計
值得注意的是，具有各種優良效能的星形蜂窩(SSH)很少被提出形成對比。SSH的典型案例按近似時間進行排序，如圖1所示。空間優勢和重入角是蜂窩特性不可替代的選擇。星形蜂窩充分反映了尖頭、圓形或凸面的優勢。
圖 1 星形蜂窩(SSH)隨時間的發展
三維ISSH的幾何形狀是根據體中心的立方體構造的。ISSH的幾何形狀透過將尖角修改為星形蜂窩(SSH)來描述，如圖2(a)所示。所示整個結構的相對引數為長度和高度，如圖2(b)所示。θ表示尖端的重入角，φ表示外角，L表示單胞的長度，斜杆和短杆的長度分別用l和h表示，引數αl和μl分別為單胞的支柱厚度和斜杆寬度，γl表示單胞的片厚度，如圖2(c)所示。
圖 2 (a)三維改進的星狀蜂窩狀；(b)二維改進的星狀蜂窩狀；(c)改進的星狀蜂窩（ISSH）單胞
3 星形蜂窩分析模型
由於ISSH在x方向和y方向的對稱性，在小變形假設中僅用y方向討論載入條件，如圖3(a)所示。基於卡斯蒂格里亞諾第二定理（Castigliano’s second theorem）的應用，透過建立四分之一模型的等效邊界條件，建立了ISSH（重入角）的解析模型，如圖3(b)所示。由於x方向的限制，杆A1C1只能在y方向上變形，而杆A2C2同樣被限制在y方向上，並在x方向上變形。
圖 3 二維ISSH的幾何圖解：(a)ISSH的載入條件；(b)ISSH的四分之一分析模型
四分之一ISSH的受力分析如圖4所示。杆C1B1在彎曲時受到向下的力矩和剪下力。而棒B1D和B2D受到不同的彎矩和軸向力，其彎曲程度和壓縮變形不一致。由於杆B1D比杆B2D遭受更嚴重的彎曲，因此尖端重入角∠B1DB2不斷增加。逆時針向杆B2C2施加力矩，導致水平外角的持續膨脹。
圖 4 ISSH四分之一分析模型的受力分析圖
4 星形蜂窩壓縮試驗
如圖5(a)所示，3塊啞鈴形試件厚度為4mm，長度為14.7mm。為了定量地研究有效泊松比和應力應變關係，製作了一些試樣，如圖5(b)所示。
圖 5 三種試樣的壓縮測試
5 星形蜂窩有限元分析
二維ISSH的3*3模型與實驗試件相同，如圖6(a)所示。實驗試樣材料視為變形範圍小的線彈性材料。楊氏模量為1740MPa，泊松比為0.4。根據合理的計算精度和時間，ISSHs的平均網格尺寸為0.5mm。有限元模型由36103個網格組成，共包含63,956個節點，如圖6(b)所示。根據分析模型，分析了相關引數對ISSH力學效能的影響。3DISSH的3*3*3模型與2DISSH相比，由不同的單胞組成，片厚度與支柱厚度一致。劃分網格後的單胞由16623個網格組成，平均網格尺寸為0.5mm，如圖6(c)所示。
圖 6 二維ISSH和三維ISSH的有限元模型：（a）2DISSH的載入條件；（b）、（c）2DISSH和3DISSH的網格單元；（c）3DISSH的載入條件
6 φ和θ的作用分析
在實驗和數值模擬中，外角φ的範圍設定為45◦到90◦，以清晰地反映變形，如圖7(a)-(d)所示。結果表明，φ的增加使νyx從負變為正，並且在不同的變形階段中明顯地呈現出負泊松比效應和正泊松比效應。在變形過程中，由於出現屈曲現象，兩側難以同時保持收縮效應，如圖7(a)和(b)所示。雖然NPR效應隨著φ的增加而消失，但橫向變形向兩側擴充套件，如圖7(c)和(d)所示。ISSHs的理論結果(TR)與模擬結果(SR)和實驗結果(ER)一致，如圖7(e)和(f)所示。隨著外角φ的增加，ISSH的Ex/Es單調減小，νyx從−0.6增加到0.6。外角的變化使ISSH從負泊松比結構向正常結構轉變。
圖 7 不同外部角度φ的試件在不同應變下的變形
ISSH中φ和θ的變化情況如圖8(a)和(b)所示。數值模擬和理論結果均考慮了θ從60◦到180◦變化，間隔為10◦，如圖8(c)所示。預測理論結果與模擬結果吻合較好。造成這種差異的主要原因可能是忽略了杆材之間的微小變形，並且連線構件的壓縮變形在一定程度上受到長度的影響。從底部的投影輪廓可以看出，雖然尖端重入角的設計對外角的影響很小，但它增強了星形蜂窩的可調性。
圖 8 (a)外角φ的變化；(b)尖角θ的變化；(c)在軸嚮應變0.01下，νyx對角度引數φ和θ的依賴關係（表面為理論結果，點表示模擬結果）
7 μ和α的作用分析
圖9為在不同的μ和α條件下，透過數值模型得到的Ey/Es和νyx，理論結果與模擬結果吻合較好。從等式（21）開始，Ey/Es與μ之間的關係類似於逆比例函式，其乘積近似為一個常數。μ的增加直接導致Ey/Es的降低。當μ增加到0.45時，對應的Ey/Es僅為原始值的一半，如圖9(a)所示。圖9(b)中，μ的增加直接導致νyx的減少。由於斜杆的彎曲變形減少，NPR效應繼續減弱。因此，μ的變化可以對νyx進行很大範圍的調整。為了研究α的影響，其他引數分別固定了θ=90◦、φ=45◦和μ=0.35。模擬了不同厚度係數α對ISSH壓縮特性的影響。Ey/Es與νyx和α之間的關係以及ρr和α之間的關係的模擬結果見圖9(c)和9(d)。ISSH的Ey/Es隨著α的增加而增加，νyx先減少，然後再增加，其增加趨勢與系列模型一致。當α的值接近0.066時，νyx達到峰值。隨著α值的持續增加，NPR效應開始減弱。可見，ρr和Ey/Es與α呈正相關。當單胞被壓縮時，我們可以得出α的增加與相對密度一致，當ρr達到0.6時，NPR效應最大。
圖 9 在y向軸嚮應變為0.01的情況下，理論結果與模擬結果的比較
厚度係數α和有效泊松比νyx對ISSH的影響是拋物線性的，而不是線性的。具體原因是，隨著厚度的增加，杆在重入角處的主要變形由直杆變為了斜杆。為了更好地解釋這種情況，作者分析了三個具有代表性的模型（α=0.033，α=0.066，α=0.099），並得出了造成這其中的潛在原因從其變形與應力之間的關係，如圖10所示。當厚度超過極值（α=0.066）時，斜杆的變形由於其自身的厚度而受到抑制，因此有效泊松比效應先減小後增大。
圖 10 對ISSH進行的不同厚度係數的應力星雲圖：（a）α=0.033；（b）α=0.066；（c）α=0.099
8 3DISSH的強度分析
根據體中心立方（體心立方）的排列方式，構建了三維ISSHs的單胞，如圖11(a)所示。尖端重入角從θ=90◦變為θ=270◦，討論了兩個弧角(尖端重入角ISSH#1、凹弧角ISSH#2、尖端重入角ISSH#3、凸弧角ISSH#4、尖端重入角ISSH#5)。用尼龍PA12製作實驗試樣，構建有限元模型，如圖11(b)和(c)所示。
圖 11 壓縮測試試件
由圖12可知，凸弧角ISSH#4是與其他模型比較斷裂的最新模型。與SSH#6相比，尖端重入角ISSH#1（φ=π/2）具有更高的楊氏模量，這意味著更高的抗壓強度。凹弧角ISSH#2和尖重入角ISSH#3（φ=π）的峰值應力高於SSH#6，而凸弧角ISSH#4和尖重入角ISSH#5（φ=3π/2）的峰值應力較低。尖端重入角ISSH#5的峰值應力比SSH#6低9.7%，尖端重入角ISSH#3的峰值應力比SSH#6高2.5%。其原因是尖端的重入角提高了彎曲強度。
圖 12 壓縮試驗中三維試件的應力-應變曲線（實線表示實驗結果，虛線表示相應的模擬結果）
9 三維ISSH的變形分析
為了在斷裂前準確觀察變形，拆除上下板，清晰觀察，如圖13(a)所示。5個樣品包括三種重入角（#1、#3、#5）和兩種弧形角（#2、#4）。試件壓縮變形及有限元分析見圖13(b)、(c)。根據斷裂前的壓縮應變，可以得到1和5先斷裂，然後2和3斷裂，4最後斷裂。從應力雲圖中可以看出，尖端重入角的設計可以改善結構的最大應力分佈。因此，ISSH的設計是基於圓弧角來獲得較大的變形效應。
圖 13 三維ISSH的壓縮測試：（a）樣品；（b）和（c）實驗模型和有限元模型在斷裂前的變形
10 小結
文章在傳統的星形蜂窩的基礎上，提出了具有可調泊松比的改進星形蜂窩，用尖端重入角度代替尖角。用理論、實驗和有限元的方法詳細研究了平面內的彈性特性和影響因素。在討論這些基本引數（θ、φ、μ和α）的影響時，發現其與Ey/Es和νyx密切相關。νyx的值透過轉化φ而由正變為負。要麼改變μ有效調整大範圍的νyx值，要麼改變θ小範圍的調整。值得注意的是，α的增加並不會使νyx的值無限期地降低，而適當的厚度是結構設計的關鍵。此外，還討論了帶有承載強度的三維ISSH模型。圓弧角的設計提高了相同壓縮應變下的結構強度，且變形大於其他ISSHs。這些結論為3D星形蜂窩，特別是其強度和可調性提供了較好的參考。
原始文獻：Hai-Tao Liu , Liang Wang，Design 3D improved star-shaped honeycomb with different tip angles from 2D analytical star-shaped model，Composite Structures, Volume 283,2022,115154, ISSN 0263-8223,https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2021.115154.
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