數學哲學有什麼用?

馬克思-布萊克（Max Black）是《數學的本質》的作者，認為數學基礎的主要任務（也是任何數學哲學的主要任務）是闡明和分析整數或自然數的概念 。布萊克所描述的任務真的如此難以完成嗎？確實很難！

例如，畢達哥拉斯主義者依靠幾何符號來捍衛“到目前為止，一切都是根據數字形成的”這一觀點。例如，對於他們來說，四邊形（由10個點組成的4行等邊三角形，1、2、3、4排列，併產生13個等邊三角形，其中包含其他幾何形狀）是“生成”其他不那麼“基本”的幾何圖形的來源。

另一方面，歐幾里德認為 "數字 "是幾何空間的組成元素（他試圖在其著名作品《幾何原理》中全面描述）。其他古代哲學家如柏拉圖和亞里士多德也提出了一些關於數學基礎的想法。不幸的是，沒有一個人在這個問題上取得了任何最終的結論。甚至像笛卡爾、洛克、休謨和康德這樣的現代哲學家，也寫過關於 "數學實體是什麼 "的理論，然而他們都沒有闡明一個完全成功的理論。

然後，在19世紀，"分析 "出現了。在這門學科中，出現了諸如複數和 "極限 "的概念等新思想，以幫助解決微分和積分方程的難題。根據斯圖爾特和斯蒂爾韋爾的說法，需要這些新概念來計算 "一輛以不同速度行駛的車輛所行駛的總距離，一艘船放在海里時漂浮的深度，或者火箭的總燃料消耗"。

同樣在19世紀，在 "分析 "領域，有一個名為 "分析的數學 "的專案，數學家們關注 "函式和數的性質"。不久之後，出現了當代最著名的三種數學哲學：邏輯主義、直覺主義和形式主義。

現狀

根據伯特蘭-羅素（Bertrand Russell）在其1901年出版的《數學原理》（Recent Work on the Principles of Mathematics）中的說法：

數學可以被定義為這樣一門學科：我們永遠不知道我們在談論什麼，也不知道我們所說的是否是真的。

這句話很好地描述了20世紀初數學哲學的現狀。然而，羅素並不滿足於此，他寫下了20世紀關於這個問題的最雄心勃勃的論文之一——《數學原理》（1910）。在這部著作中，羅素和懷特海德試圖闡述一個統一的理論，可以描述數學的所有元素。不幸的是，他們沒有成功。羅素的邏輯主義對其他數學家如龐加萊來說是不夠的。在1931年，哥德爾證實了羅素假設的整個體系的不可靠性。

結論

從那時起，如果有人問 "數字是什麼"，全世界的數學家還不能提供一個共識。此外，他們在討論數學本質的不確定性時，仍可能引用康德、洛克、笛卡爾、休謨、畢達哥拉斯、亞里士多德和伯特蘭-羅素等哲學家。