（本文首發於“劉潤”公號，訂閱“劉潤”公號，和我一起洞察商業本質）
吳軍老師是我特別敬佩的老師。
他是計算機科學家，是自然語言處理技術的先驅者，是谷歌公司的智慧搜尋科學家，騰訊公司的前副總裁，同時也是矽谷著名的風險投資人、暢銷書作家。
他著有《數學之美》、《浪潮之巔》、《矽谷之謎》、《智慧時代》、《文明之光》、《大學之路》、《全球科技通史》、《見識》、《態度》等，本本都是超級暢銷書。從我到我兒子小米，我們全家都是他的書迷。
同時，他還是教育專家，古典音樂迷，酷愛逛博物館，見過90%以上世界名畫的真跡，他是優秀的紅酒鑑賞家，他精通曆史、藝術、哲學、攝影、投資、商業……把他在任何一個領域成就單拿出來，都讓普通人望塵莫及。
吳軍老師在得到app新上了一門課程，叫做：《數學通識50講》。
吳軍老師在得到已經開設了6門課程，分別是《矽谷來信》、《谷歌方法論》、《資訊理論40講》、《科技史綱60講》、《吳軍講5G》，以及剛上的《數學通識50講》。
從資訊理論，到科技史，到通訊技術5G，現在又講數學，吳軍老師的涉獵之廣，研究之深，讓人深深歎服。
我特別喜歡跟吳軍老師聊天，因為每一次，都讓我收穫巨大。
趁著這次吳軍老師回國，我馬上跟他約了飯。
今天，我迫不及待地想把我們的聊天內容，分享給你。
— 1 —
資訊理論、科技史、谷歌方法論、5G、數學……我一直特別好奇，吳軍老師的大腦是怎麼能裝下這麼多東西，又理解得如此深刻的？
吳軍老師說，他所講的這些內容，其實就是他一直以來工作的沉澱。
吳軍老師，是美國約翰霍普金斯大學的計算機博士，後來在谷歌擔任智慧搜尋科學家。
他所研究的內容是語音識別和自然語言處理，這需要有非常深厚的資訊理論、資訊科技、通訊技術、以及數學功底。
而他的課程內容，就來自於這些積累。
差別在於，做成課程需要用更通俗的方式，把那些晦澀的專業知識講出來，讓每一個人都能夠聽得懂。
這一次的新課，吳軍老師選擇了數學。
為什麼要選擇講數學呢？
數學這個主題，是很多老師（比如我，雖然我大學的專業就是數學…）想講，但是不敢講的。
為什麼？
因為，它太難了。
而且，數學這兩個字，簡直是很多人的噩夢。
甚至，有小朋友在報考大學專業的時候說，只要不學數學，讓我幹什麼都可以！
確實，數學很難。
很多人學了十幾年數學，走上工作崗位，根本不知道數學到底有什麼用。
除了相關專業的工程師，現在有幾個人，還記得大學學過的微積分、機率、和線性代數？
那麼學數學到底有什麼用？
作為一個普通人，也要學數學嗎？
吳軍老師說，是的，每一個人，都一定要學數學，因為它實在太有用了。
學數學，對大部分人來說，不是為了解數學題，不是為了當數學家，而是為了培養數學思維。
數學思維，不僅能讓你登上更高的高度，開拓你的眼界，也能夠幫你建立一些正確的常識，讓你少走彎路，並且讓你在人生的每一個岔路口，有更多更多的選擇。
今天我能夠給企業做戰略諮詢，能夠快速洞察一件事物的本質，其實，最最根本的能力，就來自於數學思維。
可是，數學也太難了，我學不會怎麼辦？
解數學題也許很難，數學考試拿滿分也許很難，但是，只要你願意，培養自己的數學思維其實並不難。
哦？那具體來說，數學思維包括哪些呢？
我給你介紹5種。
這5種數學思維，讓吳軍老師，包括我自己都特別受益。
— 2 —
第一種數學思維，源自於機率論，叫做從不確定性中找到確定性。
什麼意思？
假如一件事情成功的機率是20%，是不是就意味著，我重複做這件事5次，就一定能成功呢？
很多人會這樣想，但事實並不是這樣。
如果我們把95%的機率定義為成功，那麼這件20%成功機率的事，你需要重複做14次。
換句話說，你只要把這件20%成功機率的事，重複做14次，你就有95%的機率能做成。
計算過程我放在這裡，對公式頭疼的小朋友可以直接略過。
做一次失敗的機率為：1-20%=80%=0.8
重複做n次至少有一次成功的機率是95%，就相當於重複做n次每一次都不成功的機率是5%，
重複做n次都不成功：80%^n=1-95%=5%=0.05
n=log(0.8,0.05)=13.42
所以重複做13.42次，你成功的機率能達到95%。
如果你要達到99%的成功機率，那麼你需要重複做21次。
那想達到100%的成功機率呢？
對不起，這個世界上沒有100%的機率，所有人想要做成事，都需要一點點運氣。
我們經常說，正確的事情，要重複做。
它其實就是機率論的自然語言表述。
所謂正確的事情，其實指的就是大機率能成功的事情。
而所謂的重複，學會了機率論，我們就對重複這件事有了定量的理解。
20%的成功機率，在商業世界中，已經不算小了，只要重複做14次，你的成功機率就能達到95%。
理解了這件事情，你就會知道，創業一次成功的機率太小，所以你在融資的時候，就不能只融資一次的預算，你需要更多更多次的預算。
相對應地，很多人都想過，假如我在一個領域成功的機率是1%，那麼我找到20個領域來做，是不是跟一個領域20%的效果是一樣的？
如果我們依然把95%定為成功的標準，那麼1%成功機率的事情，你需要重複做298次。
而這，還只是一個領域。
這就像很多人會問，我是成為一個全才，把20個領域都試個遍，更容易成功？
還是成為一個專才，在一個領域深耕，更容易成功呢？
機率論會告訴你，成為一個專才，成功的可能性更大。
理解了這件事情，你就會明白，創業要專注，不要做太多事，做太多事，你本來20%的機率就只剩1%了，你成功的機率就會更小。
你看，雖然這個世界上沒有100%的機率，但是隻要重複做大機率成功的事情，你成功的機率就能夠接近100%。
這就叫從不確定性中找到確定性。
這是機率論教會我們最重要的思維。
我們學習機率論，不是為了去算題，而是要理解這種思考方法，在做人生選擇的時候，就能選對那條大機率成功的道路。
— 3 —
第二種數學思維，源自於微積分，叫做用動態的眼光看問題。
很多人一聽說微積分，想到那些複雜的微分方程、積分方程，就頭疼。
別怕。
我們今天不談方程，只談微積分的思維方式。
微積分的思維方式其實特別簡單，也正因為簡單到極致，所以非常漂亮。
微積分是牛頓發明的。他為什麼要發明微積分呢？
是為了虐死後世的我們嗎？
當然不是。
其實在牛頓以前，人們對速度這些變數的瞭解，僅限於平均值的層面。
比如，我知道一段距離的長短，和走完這段距離的時間，就可以算出一個平均速度。
但是，每個瞬間的速度，我是不瞭解的。
於是，牛頓就發明了微分，用無窮小這種概念來幫助我們把握瞬間的規律。
而積分跟微分正好相反，它反應的是瞬間變數的積累效應。
那麼，到底什麼是微積分？
我舉個簡單的例子。
一個物體靜止不動，你推它一把，會瞬間產生一個加速度。
但有了加速度，並不會瞬間產生速度。
加速度累積一段時間，才會有速度。
而有了速度，並不會瞬間產生位移。
速度累積一段時間，才會有位移。
宏觀上，我們看到的是位移，但是從最微觀的角度來看，其實是從加速度開始的。
加速度累積，變成速度；速度累積，變成位移。
這，就是積分。
反過來說，物體之所以會有位移，是因為速度在一段時間的累積。
而物體之所以會有速度，是因為加速度在一段時間的累積。
位移（相對於時間）的一階導數，是速度。
而速度（相對於時間）的一階導數，是加速度。
宏觀上，我們看到的是位移，但是從微觀上來看，其實是每一個瞬間速度的累積。
而位移的導數，就是從宏觀回到微觀，去觀察它“瞬間”的速度。
這，就是微分。
那麼，微積分對我們的日常生活到底有什麼用呢？
理解了微積分，你看問題的眼光，就會從靜態變為動態。
什麼意思？
加速度累積，變成速度；速度累積，變成位移。
其實人也是一樣。
你今天晚上努力學習了，但是一晚上的努力，並不會直接變成你的能力。
你的努力，得累積一段時間，才會變成你的能力。
而你有了能力，並不會馬上做出成績。
你的能力，得累積一段時間，才會變成你的成績。
而你有了一次成績，並不會馬上得到領導的賞識。
你的成績，得累積一段時間，才會得到領導賞識。
從努力，到能力，到成績，到賞識，它是有一個過程的，有一個積分的效應。
但是你會發現，生活中有很多人，在開始努力的第一天，就會抱怨說，我今天這麼努力，領導為什麼不賞識我？
他忘了，這其實還需要一個積分的效應。
反過來說，有些人可能一直以來工作都做得很好，但是從某個時候開始，因為一些原因，慢慢懈怠了。
他的努力程度下降了，但這個時候，他的能力並不會馬上跟著下降。
可能過了三四個月，才會慢慢顯示出來。他會發現做事情開始不能得心應手了。
然後又過了三四個月，他做出來的東西，領導開始越來越看不上了。
在這一瞬間，很多人會覺得，有什麼大不了的，我不過就是這一件事沒做好唄。
但他忘了，這其實是一個積分效應，這樣的結果，其實早在七八個月前他不努力的時候，就埋下了種子。
努力的時候，都希望大家瞬間認可；而出了問題，卻不去想幾個月之前的懈怠。
這是很多人都容易走進的思維誤區。
而如果你理解了微積分的思維方式，能夠用動態的眼光來看問題，你就會慢慢體會到，努力需要很長時間才會得到認可，你就會擁有一個平衡的心態，就會避免犯這樣的錯誤。
吳軍老師經常講一句話，叫做莫欺少年窮。
其實，從本質上來說，這也是微積分的思維方式。
少年雖窮，雖然他目前積累的還很少，但是，只要他的增速（用數學的語言來說，叫導速度）夠快，經過五年十年，他的積累會非常高。
吳軍老師給年輕人提建議說，不要在乎你的第一份薪水。
這其實這也是微積分的思維方式。
一開始拿多少錢不重要，重要的是增速（導數）。
微積分的思維方式，從本質上來說，就是用動態的眼光看問題。
一件事情的結果，並不是瞬間產生的，而是長期以來的積累效應。
出了問題，不要只看當時那個瞬間，你只有從宏觀，一直追溯（求導）到微觀，才能找到最根源的問題所在。
— 4 —
第三種數學思維，源自於幾何學，叫做公理體系。
什麼是公理體系？
比如，幾何學有一門分科，叫做歐幾里得幾何，也被稱為歐氏幾何。
歐氏幾何有5條最基本的公理：
1、任意兩個點可以透過一條直線連線。
2、任意線段能無限延長成一條直線。
3、給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。
4、所有直角都全等。
5、若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角和，則這兩條直線在這一邊必定相交。
公理，是具有自明性並且被公認的命題。
在歐氏幾何中，其他所有的定理（或者說命題），都是以這5條公理為出發點，利用純邏輯推理的方法推匯出來的。
從這5條公理出發，可以推匯出無數條定理。
比如：
每一條線的角度都是180度。
三角形的內角和等於180度。
過直線外的一點，有且只有的一條直線和已知直線平行。
……
這構成了歐氏幾何龐大的公理體系。
如果說公理體系是一棵大樹，那麼公理就是大樹的樹根。
而在幾何學的另一門分科，羅巴切夫斯基幾何中，它的公理體系又不一樣了。
從羅巴切夫斯基幾何的公理出發，可以推匯出這樣的定理：
三角形的內角和小於180度。
過直線外的一點，至少有兩條直線和已知直線平行。
這跟歐氏幾何是完全不同的。
（羅巴切夫斯基幾何雖然看上去好像違反常識，但它其實解決的主要是曲面上的幾何問題，跟歐氏幾何並不衝突。）
因為公理不同，所以能推匯出來的定理就不同，因此羅巴切夫斯基幾何的公理體系，跟歐氏幾何的公理體系，也完全不同。
在幾何學中，一旦制定了不同的公理，就會得到完全不同的知識體系。
這就是公理體系的思維。
這種思維在我們的生活中非常重要。
比如，每家公司都有自己的願景、使命、價值觀，或者你也可以把它們稱為公司基因或者文化。
因為願景、使命、價值觀不同，公司與公司之間的行為和決策，差異就會很大。
一家公司的願景、使命、價值觀，其實就相當於這家公司的公理。
公理直接決定了這家公司的各種行為往哪個方向發展。
所有的規章制度、工作流程、決策行為，都是在願景、使命、價值觀這些公理上，生長出來的定理。
它們構成了這家公司的公理體系。
而這個體系，一定是完全自洽的。
什麼叫完全自洽？
就是一家公司一旦有了完備的公理，其實就不需要老闆來做決定了。
因為公理能推匯出所有的定理。
不管公司以後會怎麼發展，會遇到什麼情況，只要有公理存在，就會演繹出一套能夠解決問題的新的法則（定理）。
而當你發現你的公司每天都需要老闆來做決定，或者你的規章制度、工作流程、決策行為和你的願景、使命、價值觀不符。
通常是因為公理還不完備，或者你的推導過程出現了問題。
這個時候你就需要修修補補，將你公司的公理體系一步步搭建起來。
我曾跟小夥伴說：
我在公司只做三件事：設定責權利，捍衛價值觀，和做一隻安靜的內容奶牛。
關於責權利法則，我們只有一條公理：創造最大價值的人，獲得最大的收益。
所有的制度安排，都是我用我有限的智商，根據這條公理，推演出的定理。
任何制度安排（定理），如果違背了唯一的公理，那一定是我的智商不夠用導致的。
我會為我的智商道歉，然後堅定地修改制度安排（定理）。
如果我拒不改正，或者對公理有動搖，請毅然決然地離開我。那個我，不值得你們跟隨。
我們因為有相同的公理體系，而彼此成就。
公理沒有對錯，不需要被證明，公理是一種選擇，是一種共識，是一種基準原則。
制定不同的公理，就會得到完全不同的公理體系，也就會得到完全不同的結果。
— 5 —
第四種數學思維，源自於代數，叫做數字的方向性。
我們學代數，最開始學的是自然數，包括0和正整數：0，1，2，3，4，5……
然後是整數，包括自然數和負整數：……-3，-2，-1，0，1，2，3……
然後是有理數，包括整數和分數。
在學習分數之前，數字在我們的認知中，是離散的，是一個一個的點。
而有了分數，數字就開始變得連續了。
這就像在生活中，一開始你看事情，看的是對和錯，大和小。
而慢慢地，你認識到世界其實並沒有這麼簡單，你看事情開始有了灰度。
有理數之後，我們又學了無理數。
無理數，就是無限不迴圈小數，比如π。
任何一個有理數，都可以由兩個數相除而得來。
但是無理數是無限不迴圈的小數，你找不到任何規律。
這會讓你認識到，在這個世界上，有些事情就是複雜到無法有規律的。
π就是π，根號就是根號，它就是很複雜，你不要試圖用一個簡單粗暴的方式來定義它。
你要承認它的客觀存在，承認這個世界的複雜性。
你看，我們不斷深入學習各種數，其實就是在一步一步地理解世界的複雜。
再往復雜裡說，數這個東西，除了大小，其實還有一個非常重要的屬性：方向。
在數學上，我們把有方向的數字叫做向量。
數字，其實是有方向的。這個認識對我們的生活有什麼用呢？
我舉個例子。
假如你今天拖著一個箱子往東走，你力氣很大，有30N。
這時來了一個人，非要跟你對著幹，把箱子往西拖，他力氣沒你大，只有20N。
結果如何呢？
這個箱子還是會跟著你往東走，只不過只剩下10N的力，它的速度會慢下來。
這就像在公司裡做事，兩個人都很有能力，如果他們合作的時候，能力都能往一個方向使，形成合力，這是最好的結果。
而如果，他們的能力不能往一個方向使，反而互相牽制，那可能還不如完全交給其中一個人來做。
還有一種情況，做同一件事情，有的人想往東走，有的人想往西走，有的人想往北走，而你並不知道哪個方向是正確的。
這時，你想要的，不是合力的大小，而是方向的相對正確性。
那你該怎麼辦呢？
你就讓他們都去幹這件事吧。
雖然大家的方向不同，會互相牽制，力的大小會有損耗。
但是最終事情的走向，會是那個相對正確的方向。
— 6 —
第五種數學思維，源自於博弈論，叫做全域性最優和達成共贏。
什麼是博弈論？
我們每天都要做很多很多大大小小的決策。
比如，我今天是喝咖啡，還是喝茶？
這就是一個決策。
但這個決策只跟我自己有關，並不會涉及到別人。
而在生活中，有一類決策，是需要涉及到別人的。
涉及到別人的決策邏輯，我們把它叫做博弈論。
比如，下圍棋就是典型的博弈。
每走一步棋，我的所得就是你的所失，我的所失就是你的所得。
這是博弈論中典型的零和博弈。
在零和博弈中，你要一直明白，你要的是全域性的最優解，而不是區域性最優解。
什麼意思？
下圍棋的時候，不是在每一步上，你都要吃掉對方最多的子。
你要讓終局所得最多，就要步步為營，講究策略。
有時候讓子是為了以退為進，始終記得，你是為了全域性最優，而不是區域性最優。
很多時候辦公司也是一樣，不要總想著每一件事情都必須一帆風順，如果你想得到最好的結果，可能在一些關鍵步數上就要做些妥協。
除了零和博弈，還有一種博弈，叫做非零和博弈。
非零和博弈講究共贏。
共贏的前提，是建立信任。
但建立信任，其實特別不容易。
假如市場上現在需要100萬臺冰箱。
一個廠家發現了這個需求，決定馬上生產100萬臺。
另一個廠家發現了這個需求，也決定馬上生產100萬臺。
第三個廠家也同樣，決定馬上生產100萬臺。
……
結果，每一個廠家都生產了100萬臺，供大於求，大部分廠家都會遭受很大的損失。
那如果這時候，大家能夠建立起信任，說好10個廠家，每個人都只生產10萬臺，這樣正好能夠滿足需求，每個廠家都能夠賺到錢，大家就能達成共贏。
但是，只要有一個廠家沒有遵守約定，別人都生產10萬臺，但是他生產30萬臺，這個時候，就多出來了20萬臺，大家就會因此遭受損失。
建立信任，特別不容易，但是這件事情在商業世界裡非常重要。
那怎麼才能建立信任呢？
我給你兩個建議。
第一個建議是，你要找到那些能夠建立信任的夥伴。
有些人，是永遠都無法和他達成共贏的，這樣的人你就要遠離。
第二個建議是，你要主動釋放信任。
你要先讓別人知道你是值得信任的人，這樣想要與你達成共贏的人，就會來找到你。
最後的話
今天，我給你介紹了5種數學思維：從不確定性中找到確定性，用動態的眼光看問題，公理體系，數字的方向性，以及全域性最優和達成共贏。
這篇文章很長，但是我希望你一定要把它看完。
不但要看完，還要看很多遍，真正把它看懂，把這些數學思維用在你的生活中。
我也希望能透過這篇文章，向你傳達一個觀念：數學不難，真的不難。
你不一定要會解大部分數學題，你不一定要背下來所有公式，你不一定要數學考試拿滿分，但是你至少要訓練自己的數學思維。
訓練數學思維，是為了讓自己擁有符合規律的思維方式。
孔子說：三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳順，七十而從心所欲不逾矩。
所謂的從心所欲不逾矩，不是說我要約束自己，讓自己想做的事情不越出邊界。
而是我因為擁有符合規律的思維方式，所以我做的事情根本就不會越出邊界。
這，就是從心所欲的自由。
