弦理論是統一量子力學、引力和廣義相對論的主要科學成果之一。這個理論帶來了驚人的預測，最引人注目的是，我們生活在一個更高維度的世界，而不是一個三維世界（相對論是四維時空）。
根據弦理論的不同，額外維度的數量也不同。然而，這些額外的維度在哪裡呢？到目前為止還沒有人注意到它們。這就是我們的弦理論嗎？顯然不是，否則，成千上萬的物理學家不會把他們的一生奉獻給這個物理學分支！
在本文中，我想讓這些想法更具體一些。我們將看看“上帝的主方程”之一，薛定諤方程，並把它應用到“玩具”世界。這讓我們看到，捲曲的額外維度有什麼影響，以及我們如何觀察它們。
薛定諤方程（沒有額外維度）
我們的“玩具”世界只有一維，一個縮小版的平面。它向兩個方向無限延伸。這個玩具世界的薛定諤方程式是這樣的
其中()為系統的勢能函式，為總能量。讓我們進一步假設把一個粒子困在一個很小的體積裡，比方說在=0和=之間。我們以某種方式把它控制在這個區域，它可以在那裡自由移動，但它無法逃脫。這可以用勢能函式來描述
所以薛定諤方程化簡成
邊值條件是
否則薛定諤方程就不能在勢能無限的區域中得到滿足。在這種情況下，薛定諤方程簡化為諧振子的形式，滿足邊界條件的解為
其中是一個≥1的整數，是某個常數。把它插入薛定諤方程中就得到了
或者
所以粒子有一個離散的，儘管有無限個允許的能級。越高，能量越高。沒什麼特別的。
額外的捲曲維度
額外的捲曲維度？如果你用實數線表示一個標準維度，那麼這個維度在兩個方向上都無限延伸。捲曲，或者用技術術語來說：緊化，意味著我們將那些相距距離的點定義為相同的點。所以當你沿著這條軸移動一段距離，你會在你開始的地方結束。我們所做的就是把這個維度變成一個圓圈，這就是為什麼人們叫它捲曲的維度。
假設在“玩具”世界中，除了正常的維度外，還有一個額外的捲曲維度我們稱這個方向的座標為。假設我們捕獲了一個粒子在-space的同一個區域。那麼
我們可以很容易地用分離方法將這個偏微分方程轉化為常微分方程
代入薛定諤方程得到
其中，上標符號分別表示對單個變數或的導數。除以：
也可以寫成
注意，這裡的左邊是的函式，而右邊不是。右邊是關於的常數。我們稱這個常數為-^2。然後，乘以，我們可以將方程寫成
這就是諧振子的方程，它的通解是
同樣的論證也適用於，但這次是針對，而不是。在這個例子中表示常數，我們有
讓我們在邊界條件下固定一些常數，得到
此外，我們有
因為_1不可能是零（這意味著=0，這意味著根本沒有粒子），我們必須有
對於()，唯一的邊界條件是維度是捲曲的，所以
這意味著常數必須具有正確的大小，使週期等於：
其中≥0為整數。
總之，我們有了波函式的解
將解代入薛定諤方程，就可以得到允許的能量
這取決於和。=0是允許的，所以在這種情況下，變化的能量是相同的，沒有額外的維度。但是透過>0，我們可以獲得額外的能量級別！為什麼我們還沒有觀察到呢？
因為，如果非常小，那麼來自額外維度的能量項是巨大的。所以，在這種情況下，任何來自額外維度的能級，只有在非常高的能量時才會可見。如果真的很小，那麼所需的能量是如此之高，以至於我們目前的技術無法觀察到。但也許，在未來的某一天，我們可以做到。
