摘要 對2016年諾貝爾物理學獎的獲獎工作以及背景知識進行了通俗而力求準確的介紹，考察了科學思想的歷史發展過程 以及三位獲獎科學家的經歷，最後總結了這次獲獎成就的意義以及給我們的啟示。
2016年的諾貝爾物理學獎授予大衛•索利 斯(David J. Thouless)、鄧肯•霍爾丹(F. Duncan M. Haldane)和邁克•科斯特里茲(J. Michael Kosterlitz)，以表彰他們關於拓撲相變和物質拓 撲相方面的理論發現。其中，獎金的一半由索利 斯獲得，另一半由霍爾丹和科斯特里茲均分。 在這篇文章中，筆者用通俗易懂而又力求 準確的方式，解釋涉及的科學問題，並梳理科學 思想的演變。在這之前，我們先介紹一下這三位 物理學家。
1 獲獎科學家
這三位諾貝爾獎得主都是長期在美國工作 的英國人，都是劍橋大學校友，也都是理論物理 學家。 索利斯1934年出生於蘇格蘭的拜爾斯頓 (Bearsden)，在英格蘭的劍橋長大，因為他的父 親是劍橋大學的心理學家。索利斯就讀於著名的 溫切斯特公學(Winchester College)。這所學校有 著600多年的歷史，是英國曆史最為悠久、具有 最好的學術傳統的預科學校。 1952年，索利斯進入劍橋大學三一學堂(TrinityHall)念本科。1955年取得學士學位後，索利斯來 到康奈爾大學攻讀博士學位，導師是著名物理 學家貝特(Hans Bethe)。1958年獲博士學位後， 索利斯在美國加州的勞倫斯•伯克利實驗室工作 了一年，然後作為博士後研究員來到英國伯明 翰大學，導師是著名物理學家派爾斯(Rudolf E. Peierls)。1961—1965年，索利斯任劍橋大學講 師。1965—1978年，他任伯明翰大學數學物理學 教授。1979—1980年在美國耶魯大學任教授。 1980年後在華盛頓大學任教授，2003年榮休。 科斯特里茲1942年生於蘇格蘭的阿伯丁 (Aberdeen)，1962年進入劍橋大學岡維爾與凱斯 學院(Gonville and Caius College)。這時，索利斯 是劍橋大學講師，科斯特里茲還聽過他的課。 科斯特里茲1965年和1966年在劍橋大學分 別獲學士和碩士學位，1969年在牛津大學獲得博 士學位，後去義大利都靈做博士後研究。1971 年，科斯特里茲來到伯明翰大學做博士後。他後 來在康奈爾大學工作了一段時間後，1974年回 到伯明翰大學任教。科斯特里茲1982年也去了美 國，任布朗大學教授至今。 霍爾丹1951年生於英國倫敦，在聖保羅學校(St Paul’s School)上學。這是英國最好的學校 之一，牛津劍橋錄取率最高。1970年，進入劍橋 大學基督學院(Christ’s College)。1978年又在劍 橋大學獲博士學位。導師是當時從貝爾實驗室到 劍橋大學兼職的著名物理學家安德森(Philip W. Anderson)。安德森是凝聚態物理的大師，1977 年與他的導師範弗列克(J. H. van Vleck)及英國物 理學家莫特(N. F. Mott)分享諾貝爾物理學獎。霍 爾丹取得博士學位後，來到美國。現在他也是普 林斯頓大學教授。
2 物質的相與相變
同樣的微觀粒子組成的物質有不同的宏 觀表現，這就是相。物質究竟處於哪個相，除 了有能量因素外，還有混亂程度的因素。混亂 程度叫作熵。熵這個字是老一輩物理學家翻譯 “entropy”一詞的時候發明的字，火字旁表示 與熱有關，右邊的商字表示它是熱量與溫度的 商。準確地說，對於可以定義溫度的系統，微小 的熵的變化是微小的熱量變化與溫度的商。所以 簡單來說，溫度乘以熵就得到熱量。 熱力學第二定律告訴我們，孤立系統的熵 總是不減少的，也就是說，熵會不斷增加直到最 大，然後保持不變。一個系統和它的周圍環境 之間有熱量交換，但是它們共同構成一個孤立 系統。根據能量守恆定律(也就是熱力學第一定 律)，系統內部能量的改變作為熱量從環境獲得 或者傳遞給環境，而熱量除以溫度就是環境的熵 的改變。由此可以推論出，系統的內部能量減去 溫度乘以系統的熵(叫做自由能)總是減少，一直 到最小值，然後保持不變，這時系統達到平衡狀 態。這裡所說的溫度是指絕對溫度。絕對零度即 “絕對的零度”，是世界上最低的可能的溫度， 等於零下273.15 °C。只要溫度不是絕對零度， 熵就要起作用。 因此為了降低自由能到最小，一方面系統 的內部能量要儘可能地低，另一方面混亂程度 (熵)又要儘可能地高。這決定了在一定溫度下物 質處於哪個相。也就是說，對於給定的某個溫 度，哪種相的自由能低，系統就選擇哪種相。這也決定了在什麼溫度發生不同相之間的轉變，這 就是相變。高於相變溫度，系統處於無序相；低 於相變溫度，系統處於有序相。如果在某個溫度 下，有序相的自由能比無序相低，那麼無序相到 有序相的相變就是可以發生的。 一個常用的相變模型是磁模型(圖1)。磁體 是由很多磁性原子組成的點陣，點陣整體像是一 臺大型集體舞蹈。每個原子是個小磁體，有類 似磁鐵的南極到北極的磁性方向。每一對相鄰 原子之間有個耦合，當它們磁性方向相同或者 相反時，耦合的能量最低。遵循前一種規則的叫 做鐵磁體，後一種叫做反鐵磁體。因此，在鐵磁 體中，所有的原子磁性方向一致時，總能量(也 就是所有的鄰居對的耦合能量之和)最低。在反 鐵磁體中，相鄰原子磁體的磁性方向相反，犬牙 交錯時總能量最低。原子之間的磁性耦合原理是 海森堡首先提出的。對於原子磁性方向可以指向 空間任意方向的情況，磁性模型又叫作海森堡模 型。如果每個原子的磁性方向侷限一個平面上， 相鄰原子的磁性耦合能取決於它們磁性方向在這 個平面上的夾角，這樣的磁性模型叫XY模型。 同樣是這些原子，它們的磁性方向卻有各 種可能。如果溫度不是絕對零度，因為要兼顧混 亂度的要求，這些原子的磁性方向可能滿足不了 能量最低的要求，也就是做不到完全相同或者相 反。因此它們的總和，也就是整個磁體的磁性， 有可能有一定大小，朝向某個方向；但也有可能 為零，因為各個原子不同的方向可能互相抵消 了。
如果每個原子的磁性方向可以在三維空間中指向任意方向，那麼鐵磁體在某個溫度以下有 個總的磁性，也就是說，各個原子的磁性加起來 不為零，指向某個方向，這個有序相叫鐵磁相。 在某個溫度以上，各個原子的磁性方向是混亂 的，磁性互相抵消，整個鐵磁體的磁性為零，這 個無序相叫順磁相。 相變能否發生，還與系統的維度有關。通 常的物體有長、寬、高三維。如果構成物體的粒 子只能在一個面上運動，就是二維。如果構成 物體的粒子只能在一條線上運動，就是一維。 1966年，康奈爾大學的默敏(D. Mermin)和瓦格 納(H. Wagner) [1] 以及貝爾實驗室的霍亨貝格 (P. Hohenberg) [2] 證明，如果物理特性(比如磁性 方向)可以連續變化，那麼只要溫度不是絕對零 度，二維或二維以下不發生相變，因為這時混亂 程度總能戰勝能量的改變。韋格納(F. Wegner)也 專門針對二維XY模型，嚴格證明了在絕對零度 以上沒有相變[3] 。 但是伊辛模型是一種特殊的磁體模型，其 中每個原子的磁性方向不是空間或平面上的任意 方向，而只能是上下兩個方向。對於伊辛模型， 上面關於相變的結論有所改變，一維沒有相變， 但是二維有相變。這正是索利斯的博士後導師派 爾斯在1936年證明的[4] 。
3 索利斯與科斯特里茲提出拓撲相變
1971年，科斯特里茲來伯明翰做博士後 時，索利斯正在伯明翰上一門關於超流與超導的 研究生課程[5] 。超流是沒有黏滯的流體現象，液 態氦在極低溫時就是超流體。超導是電子的超 流，因為帶電，所以是電阻為零的導電。雖然超 流和超導的微觀機制要用到量子力學，但是相變 行為可以用前面所解釋的能量與混亂度的競爭來 描述，不需要量子力學。 索利斯開的課程介紹了理論上的超流薄 膜，也就是二維超流，它的相變性質與二維XY 模型是類似的。根據上面說的相變對維度的依 賴，二維XY在絕對零度之上沒有相變。索利斯 在解釋理論上超流薄膜的渦旋能量時，意識到渦 旋可能引起相變。
索利斯和科斯特里茲合作研究了二維繫統 相變的可能[6-8] 。他們發現，渦旋扮演關鍵角 色。渦旋是繞著一個點或者一個軸的流動，或者 某種物理性質(比如XY磁模型中不同原子的磁性 方向) 隨角度變化。有兩種可能的相，高溫相是 有自由的渦旋，低溫相是旋轉方向相反的渦旋兩 兩束縛成對(圖2)。隨著溫度的不同，這兩個相 的自由能誰高誰低會發生變化，導致在絕對零度 之上的某個溫度發生相變。
這個研究工作就是2016年諾貝爾獎所嘉獎 的拓撲相變，又以他們的姓氏首字母命名為KT 相變或被稱為科斯特里茲-索利斯相變。 拓撲相變這一名詞源於渦旋的拓撲結構。 拓撲是指在區域性的連續變化下保持不變的整體性 質。假設你用橡皮泥捏一個輪胎狀的東西，你可 以拉伸、扭曲、變形，把它變為奇形怪狀的東 西，但是始終有一個洞在那裡，這就是拓撲不變 量。 渦旋的拓撲不變可以如下理解：假設你圍 繞一個點或者一個軸走動，回到原地，不管路徑 怎樣五花八門，總歸是繞了整數圈數。這個圈數 不依賴於路徑的細節，是個拓撲數，術語叫做纏 繞數。渦旋就由它的纏繞數表徵。 在索利斯和科斯特里茲發現拓撲相變前一 年，蘇聯的貝熱津斯基(Vadim Berezinskii，1981 年去世)提出XY模型中渦旋激發的重要性[9-10] 。 大概由於有些科學家對貝熱津斯基工作的強調， KT相變還被稱為BKT相變。但是，其實貝熱津 斯基沒有得出相變的結論。 相變規律具有普適性，在不同系統中存在 同樣的定量規律，KT相變也是如此。索利斯和科斯特里茲的這個工作使人們認識到二維薄層材 料也可以有超流、超導以及其他有序相。
4 量子霍爾效應的拓撲
霍爾效應是美國物理學家霍爾(Edwin Hall) 在1897年發現的，指電子在電壓驅動下形成電流 時，再加上一個垂直的磁場，由於電場和磁場的 共同作用，電子偏離原來的電壓方向，並在導體 邊緣累積，從而在垂直於電流的方向形成新的電 壓，叫做霍爾電壓。 量子霍爾效應自從1980年被發現後，一直 是凝聚態物理的重要課題，曾兩次獲諾貝爾獎青 睞。最初的發現者馮•克里青(Klaus von Klitzing) 做出發現5年之後就得獎了[11] 。 量子霍爾效應(圖3)是二維電子氣的行為。 二維電子氣在兩種不同的半導體的介面形成，電 子侷限在這個二維平面上運動。在低溫下，二維 電子氣的霍爾效應出現量子化，也就是說，電流 與霍爾電壓的比值總是某個常數(e2 /h，其中e是 電子電荷，h是代表量子力學效應的普朗克常數) 的整數倍。這個整數非常精確，精確度達到十億 分之一，而且在一定範圍內改變實驗引數時保持 不變。如果磁場改變達到一定程度，量子化的整 數跳到下一個整數。那個常數的倒數，即e2 /h， 等於 25 812.807 557 Ω，被命名為馮•克里青常 數，已成為電阻的標準。
20世紀80年代，在華盛頓大學，索利斯與 合作者提出，量子霍爾效應的量子化起源於拓 撲，對應的整數是所謂“陳省身數”[11-12] 。這是 華人數學家陳省身先生很多年前發現的一個表 徵拓撲性質的數，是一種特殊的纏繞數，代表了空間的彎曲程度。但是對於量子霍爾效應來說， 這個空間是電子的量子波函式構成的閉合抽象空 間。這就是索利斯獲得諾貝爾獎的另一部分成 就。
5 霍爾丹的貢獻
在索利斯等人提出量子霍爾效應的拓撲本 質後，1988年，霍爾丹提出一個模型，其中沒有 磁場，但是也能實現量子霍爾效應，因為用另外 的方法實現了所需要的拓撲性質[13] 。這是霍爾丹 的一部分獲獎成就。無磁場的量子霍爾效應現在 稱作反常量子霍爾效應。 霍爾丹的另一部分獲獎成就是他1982年關 於量子一維海森堡反鐵磁體的結論。按前面的介 紹，一維海森堡反鐵磁體就是說，每個原子與相 鄰原子磁性方向相反時，這對鄰居的耦合能量最 低。但是前面討論的模型中沒有量子力學，霍爾 丹研究的是量子力學起作用時的模型，計算各種 可能的能量取值。 量子力學使得問題複雜化，因為量子力學 裡有個著名的海森堡不確定關係，使得原子磁性 方向不確定。不過，對於一維鐵磁體，最低能量 狀態仍然是所有原子磁性方向一致。在此基礎上 的激發類似於聲波，也就是說無論多小的能量都 能激發一個磁性波在原子間傳播。簡單的近似計 算給出，對於一維反鐵磁，最低能量狀態是所有 原子的磁性方向犬牙交錯，在此基礎上也能激發 能量可以任意小的磁性波。 刻畫原子磁性的特徵量(稱作磁矩)要麼是某 個常數(玻爾磁矩)的整數倍，要麼是半整數倍， 這個倍數叫作自旋。所以一維磁體又叫自旋鏈， 磁性波也叫自旋波。索利斯的導師貝特在1931年 嚴格地解出了自旋等於1/2的情況[14] 。從楊振寧 和楊振平1966年的一篇文章開始[15] ，貝特的方法 被稱作貝特假設。嚴格的最低能量態並不是犬牙 交錯態，但是確實能激發能量可以任意小的自旋 波。 那麼對於自旋是其他整數或半整數的情況， 以上自旋波結論是否正確呢？霍爾丹發現，對於 自旋是半整數的情況(1/2、3/2、5/2等等)，結論與1/2類似。但是對於自旋是整數的情況(1、2、3 等等)，結論則截然不同，能量必須大於某個非零 值，才能有激發[16-17] 。霍爾丹的結論後來得到實 驗證實。 他的論證用到一維時間與一維空間組成的 抽象二維空間裡的一個拓撲纏繞數。對於整數自 旋情況，各種纏繞數的拓撲效應都不起作用(後 來人們發現對於磁體的邊界有影響)，結果量子 力學不確定關係導致磁體的最低能量態和激發態 之間有一個不等於零的差別，所以不能有能量任 意小的自旋波。對於半整數情況，偶數纏繞數和 奇數纏繞數帶來的效應互相抵消，結果導致有能 量可以任意小的自旋波。 霍爾丹的兩個獲獎工作都與目前的熱門領 域拓撲絕緣體關係密切。
6 意義與啟示
三人的工作將凝聚態物理帶到了一個新的 天地，帶來了革命性的新觀念，打開了組成物質 的大量粒子微觀拓撲性質與物質宏觀物理性質關 系的大門。他們開闢的這個方向現在已經成為一 個前沿和主流領域，而且對材料科學和資訊科學 有很大的影響，為新材料、新器件的設計帶來了 新的思路。對於量子計算機的實現也很有意義， 因為拓撲的性質可能帶來穩定的量子狀態，幫助 克服量子計算對於環境擾動的敏感。 從這三位科學家的道路中，筆者總結了幾 條啟示，與大家分享： 首先，追求卓越。前面提到，索利斯在中 學就表現出追求卓越、不滿足於最低要求。三位 獲獎者事業上的經歷也體現出了這一點。 第二，不囿於成規，勇於創新。不是簡單 否定，而是另闢蹊徑。拓撲相變之於普通相變， 整數自旋鏈之於半整數自旋鏈，這些創新都是突 破了原來的正規化，但是又不否定適用於各自範疇 的原來的理論 。 第三，他們的研究工作是研究本身和好奇 心驅動的。值得注意的是，除了索利斯等人揭示 量子霍爾效應的拓撲，他們的獲獎工作都是領先 於實驗的理論研究。關於量子霍爾效應的拓撲雖然是在量子霍爾效應發現之後，但是它激發了進 一步的實驗和工作。這些理論上的成功對於理論 工作者是一個鼓舞。 第四，三位科學家都有特立獨行的風格。 他們的研究並非為了趕時髦、追樂隊花車，他們 的成果後來卻引導了主流和熱門領域。 第五，他們的道路反映了優秀的科學傳統 的積累和傳承。筆者注意到，2016年三位獲獎科 學家分屬兩個“師生三代獲得諾貝爾物理學獎” 的系列，一個是貝特—索利斯—科斯特里茲，另 一個是範弗列克—安德森—霍爾丹。 最後，他們三位都是長期在美國工作的 英國人，分享2003年諾貝爾物理學獎的萊格特 (Anthony J. Leggett)也是英國人，1983年從英國 移居美國工作，是美國伊利諾伊州立大學教授 (他得獎時，筆者正是他的訪問學者)。由此可以 看到那些年英國人才流失的嚴重。中國香港的高 錕獲得2009年諾貝爾物理學獎的工作，是1966年 在英國國際電話電報公司(ITT)的英國分公司標 準電話電纜公司(STC)完成的，後來他去香港中 文大學兼職，然後又去ITT的美國分公司任職， 最後又去香港中文大學。大概20世紀90年代開 始，英國也吸引人才流入，達到一種平衡。獲 得2010年諾貝爾物理學獎的蓋姆(A. Geim)和諾 沃謝諾夫(K. Novoselov)在英國曼徹斯特大學工 作，最初都來自俄羅斯。
7 祝福索利斯教授
筆者在劍橋大學工作期間，2000年曾經與 來訪的索利斯教授有過比較深入的學術討論，並 請他評閱我當時正在寫作的一篇論文草稿。索利 斯教授後來從美國發電子郵件給筆者，說在飛機 上又想了我的問題，而且仔細讀了我的草稿，並 提出了重要的建議。 2007年10月31日至11月3日，在新加坡召開的慶祝楊振寧先生85歲壽辰的學術研討會上，我 見到了索利斯。索利斯在會上作了個凝聚態中的 拓撲量子數的綜述報告。我還記得，我國某位物 理學家做報告時，索利斯是主持人，到了規定時 間時，他很有原則性地要求報告人停止。會議期間我還與他聊到前一年和當年的諾貝爾獎，並預 祝他得到諾貝爾獎。 索利斯夫婦現在住在故鄉劍橋。筆者前段 時間發郵件給索利斯，祝賀他獲得實至名歸、姍 姍來遲的諾貝爾獎。以他和家人名義的回信提到 索利斯目前有點健康問題，還說：“大衛獲悉得 諾貝爾獎，感到感動和光榮，而且很高興與科斯 特里茲和霍爾丹分享。他感激世界各地的朋友和 同事的祝賀和對他對物理學的貢獻的讚美(David was moved and honored to learn of the Nobel Prize, and he was delighted to hear that he would share it with Mike Kosterlitz and Duncan Haldane. He is grateful to all his friends and colleagues around the world who have sent congratulations and made such lovely comments about his contributions to physics)。”
