錢江晚報·小時新聞記者 王湛通訊員 樊暢 邱伊娜
雷達向天空發射電磁波，如何利用觀測的訊號來確定飛行器的特徵？怎樣利用地面上收集到的波場資訊勘探地下是否存在石油、天然氣等能源？這些既上天又入地的科學問題背後，都離不開數學理論與科學計算的強大支撐。
波動方程反問題被學界譽為“數學具有鮮活生命力的最重要體現之一”。自上世紀中葉以來，反問題的研究持續穩步推進，而現代科學技術的不斷髮展也為其帶來新的機遇與挑戰。
浙江大學教授包剛完成的“波動方程反問題的數學理論與計算方法”，解開了這“上天入地”的數學奧秘，成果獲國家自然科學獎二等獎。
摘掉“強假設”，拓寬穩定性
波動方程反問題是透過系統外部觀測的波場來確定介質內部結構與特徵的研究,作為一類極具重要性和應用價值的科學問題，在數學理論和計算方法方面一直存在著巨大的困難，主要表現在非線性性、不適定性、演算法的複雜性及模型的不確定性。如何克服這些難題，實現精準反演，減小探測誤差的影響，近幾十年來始終是國際學術前沿。
透過邊界上的波場資訊來確定介質的性質，是波動方程反問題在地質勘探、無損檢測等實際問題中的重要應用。然而，由於波動方程反問題的非線性性和不穩定性，實現精準勘探極其困難。
“測量資料的誤差會導致反演的不準確，如何保證小的測量誤差僅帶來反演結果的小擾動，這就是穩定性研究。”包剛說。
針對穩定性這一極具挑戰性的波動方程反問題核心難題，多位國際反問題權威學者近三十年來利用幾何光學的漸近分析方法得到了一系列結果，但這些方法都需要一個非常強的理論假設，即速度場本身不含焦散線。
包剛與其博士生張海引入高斯束取代幾何光學近似，提出了全新的處理方法。透過將高斯束方法與微區域性分析相結合，精細地刻畫奇性傳播，依靠測量邊界上的散射關係來克服該反問題的不穩定性，首次突破了介質不含焦散線的理論假設限制，該項成果發表在國際數學頂尖期刊——美國數學學會會刊（JAMS）上。
克服“不適定”，掌控隨機性
透過觀測的散射場資訊來確定未知源函式被稱為波動方程的反源問題。這類問題在醫學成像、微地震研究中有廣泛的應用前景。建立可計算反演模型及發展解的唯一性、穩定性理論，是反源問題研究的核心。
反源問題研究的本質困難在於單頻資料反演無唯一性及穩定性。單頻資料不行，包剛就開始在多頻資料上下功夫。針對波動方程的反源問題，透過引入多頻觀測資料，再根據解的唯一性延拓原理，建立了反源問題的唯一性理論，成功克服了單頻資料下反源問題不適定的困難。
反源問題研究的另一個挑戰就是在實際應用中，波源還普遍存在著隨機性，已有的用於求解確定性反源問題的理論和演算法都不再適用，亟待發展新的數學理論與計算方法來研究隨機反源問題。為了加大計算的準確度和可信度，包剛與其合作者提出了布朗運動驅動的隨機源波動方程模型，基於該模型，給出了隨機源期望和方差函式的允許空間，建立了模型問題解的正則性理論，提出並實現了確定未知隨機源函式的高效穩定演算法，“隨機”不再不可掌控。
巧用倏逝波，突破衍射極限
為什麼一些特別微小的東西我們用肉眼看不見？這就是光學成像的衍射極限。該極限已經成為制約顯微鏡、望遠鏡、照相機等光學器件發展的主要瓶頸之一。近場成像技術是突破衍射極限、達到超解析度的有效途徑，但是，其數學理論亟待發展。
如何利用刻畫光傳播的波動方程反介面問題，建立近場資料和被測目標之間的內在聯絡，是實現超解析度成像的關鍵問題。
包剛的辦法是利用倏逝波的資訊。“以往相關領域內有學者提出了一個線性化模型來開展研究，但無法準確處理原非線性模型。”包剛和合作者分別針對介面區域性擾動和粗糙介面的近場解析度成像問題，從介面上方近場的觀測資料來確定介面的結構資訊。
介面表面傳播的倏逝波由於其法向的指數衰減性質，往往難以控制。透過對倏逝波的細緻刻畫，包剛揭示了波場譜資訊與介面的微觀結構之間的非線性關係。
反問題不止用於細微之中，也用於“大物”之上。
“隱形飛機”的設計目的就是讓人探測不到，如何才能讓它現形？相對於電磁波的波長來說，飛機引擎進氣口、開放導管等關鍵部位的大腔體，可以算是實打實的“大型物體”。然而，探測大腔體不論從理論還是技術上，都不是一件容易的事。透過對目標物體進行座標變換，大腔體散射問題就轉化為大波數問題，其解具有高震盪性在計算上是公認的難題。
包剛與合作者引入新型非區域性透射邊界條件，將無界散射問題轉化為有界腔體問題，證明了其解的存在唯一性，首次獲得瞭解顯式依賴於波數的穩定性估計，建立了大波數問題的穩定性理論，為數值求解大腔體散射問題的收斂性分析奠定了理論基礎。
2010年，在美國密西根州立大學已獲終身正教授十餘年的包剛，在自己科研工作最活躍的時候，選擇回國全身心投入浙江大學數學人才培養與學科建設。包剛經常對學生說“歸屬感很重要，做科學研究既要找準源動力，知道為誰服務，也要潛心積累，坐得住科學問題的冷板凳。”，他用切身經歷和實際行動為學生做出了榜樣。
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來源：錢江晚報·小時新聞
