正文

費馬小定理

費馬小定理(Fermat's little theorem)是數論中的一個重要定理，在1636年提出。如果p是一個質數，而整數a不是p的倍數，則有a^（p-1）≡1（mod p）。

費馬小定理的證明比較簡單，一些小學生的奧數比賽已經涉及，初中生即可看懂全部證明過程。然而，費馬大定理非常神奇，他的表示式簡單到任何初中生都可以理解，但證明難度如同登天，以至於很多數論專家根本沒有去嘗試，連這個想法都沒有。

費馬大定理

家喻戶曉的勾股定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方，表示式：

X^2+Y^2=Z^2 顯然，XYZ有很多組整數解，如（X=3，Y=4，Z=5），（X=6，Y=8，Z=10），......但是，後來人們發現，如果是X^3+Y^3=Z^3則似乎找不到XYZ的整數解，而後數學家費馬斷定：

X^n+Y^n=Z^n 當n>2時均沒有整數解，這就是費馬大定理。

費馬何許人也？

皮耶·德·費馬於1601年出生於法國，本職工作是法官，並未受過專業數學教育，數學僅是業餘愛好。然而，神奇的是，他是解析幾何的發明者之一，機率論的主要創始人，對於微積分誕生的貢獻僅次於牛頓和萊布尼茨，被譽為“業餘數學之王”。費馬也是調皮的，他自己沒法證明這個猜想，但卻在這一結論之後加了一個備註：“我有一個對這個命題的十分美妙的證明，這裡空白太小，寫不下。"

數論是數學領域的高峰，費馬大定理相當於珠穆朗瑪峰，358年來吸引了眾多登山者，其中不乏大神，以下是有主要貢獻的人物。

1、費馬

費馬本人證明了n=4無解

2、尤拉

尤拉是屈指可數的接近”神“的人，數學史上公認的4位最偉大的數學家分別是：阿基米德、牛頓、尤拉和高斯。這位神1707年出生於瑞士。

第六版瑞士法郎的尤拉肖像

登上雜誌電視算啥？就算登上央視的人也數不勝數。只有對歷史有卓越貢獻的人，才有可能登上鈔票。

我們現在的學生，從初中、高中到大學，都會遇到尤拉，f(x)、Σ、i、e等符號均為其發明，一生共寫下了886本書籍和論文。一個人如果能發現一個公式，就足以自豪一生，而尤拉的方程，公式有一大籮筐，涉及代數、數論、幾何、物理、天文、彈道學、航海學、建築學等。在人生最後17年中雙目失明，但這位神仍然出產了大量著作，可以心算高數。看到這發現自己跪下都高了，只能趴在地上方能體現對神的敬仰。

尤拉證明了n=3無解

3、熱爾曼

索菲·熱爾曼1776年出生於法國，她非常熱愛數學，自學了數論和微積分等知識。巴黎有一所國家級的數學學院，但並不接受女性入學。她只能冒名為一位已經入學的男生勒布朗去學習（當然這位男生已經離開巴黎了），當時的指導老師是拉格朗日（19世紀世界上最優秀的數學家之一）很快發現，勒布朗先生以前的解題非常糟糕，現在的能力突飛猛進，表達出了很高超的解題技巧，他很奇怪，於是召見了勒布朗，這樣熱爾曼的身份就暴露了。

熱爾曼證明了 X^n+Y^n=Z^n 當n為熱爾曼質數時候，”大機率“無解。（注：當一個質數為n，且2n+1也為質數，那麼這個質數就是熱爾曼質數）

法國數學家-索菲·熱爾曼

4、狄利克雷和勒讓德

這兩位數學家在熱爾曼的基礎上，獨立證明了n=5無解。

5、拉梅

1840年，法國人數學家G·拉梅改進了熱爾曼的方法，證明了n=7無解。

6、庫默爾

1847年，法國數學家拉梅和柯西都宣佈即將給出完整的費馬大定理證明，可是德國數論家庫默爾指出了二者的證明走不通。並證明當n＜100時除37、59、67三數外費馬大定理均成立。

德國數學家庫默爾

7、沃爾夫斯凱爾

1908年，德國實業家、數學愛好者沃爾夫斯凱爾因為失戀決定自殺，他擬好了遺囑，並打算在午夜鐘聲響起時開槍射擊自己的頭部。死前幾小時，他覺得無聊就到圖書館坐坐，看到一篇庫默爾解釋為何柯西和拉梅證明費馬大定理的方法行不通的文章，他突然發現這篇論文中的有一個邏輯上的缺陷，沃爾夫斯凱爾花了幾個小時修補。當證明完成時離自殺時間已經過去好幾小時。於是他重新定了遺囑。在他死後，家人們發現他大部分遺產（當時的10萬馬克，現在價值超100萬英鎊）都被設立為一個獎項，獎給第一個證明費馬大定理的人，時間截止到2007年9月13日。

8、哥德爾和科恩

1931年，哥德爾證明了不完備定理。該定理指出少數問題是永遠無法被證偽或者證實。這樣的問題被哥德爾稱為"不可判定"的問題。不過暫時人們還沒有發現這類詭異的問題。到了1963年，美國數學家科恩則首先證明了"連續統假設"的不可判定性，這給費馬大定理的證明蒙上了陰影，或許它本身就不可判定，數學家花時間去證明只能是浪費生命！

美籍奧地利數學家-庫爾特·哥德爾

9、圖靈

計算機發明者，人工智慧之父，計算機的出現，為證明費馬大定理提供了工具。很快，數學家就驗證了n<1000均無解，1976年，德國數學家瓦格斯塔夫證明n＜125000無解，1985年美國數學家羅瑟證明n＜41000000無解。然而，這樣就算到100億、1萬億也不行啊，很可能1萬億零1就是解。

正如： X^4+Y^4+Z^4=W^4

尤拉宣稱此等式無整數解，結果200多年後，在1988年，哈佛大學的艾爾斯基就發現了整數解：

2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615673^4

在天文數字面前，連尤拉這樣的神仙都要犯錯。沒有嚴謹的數學證明，它只能算猜想，不能作為定理。

10、谷山豐和志村五郎

日本數學家谷山豐在1955年提出：橢圓方程的E-序列對應於一個特定的模形式的M-序列並完全相等，谷山豐在1958年自殺身亡，年僅31歲。幾星期之後，他的未婚妻鈴木美佐子悲憤殉情。谷山豐的自殺原因讓人匪夷所思，遺書表明，他沒有明確的自殺原因，只是感到疲勞，好像對未來失去了信心.....總之能提出這類猜想的人都是天才，他們的深邃思想，是我等普通人難以理解的。 後來志村五郎繼續研究，提出“每一條橢圓曲線，都可以對應一個模形式”，稱為“谷山-志村猜想”。注：模形式是在複平面上的某種週期函式

11、弗賴

1984年，德國數論家格哈德·弗賴提出，如果有人能證明谷山-志村猜想，那麼就相當於證明了費馬大定理，但他給出的二者關係的證明有一個錯誤。

12、裡貝特

加利福尼亞大學肯裡貝特教授完成了”搭橋“，證明了"谷山-志村猜想"和費馬大定理的邏輯關係：如果谷山-志村猜想對每一個半穩定橢圓曲線都成立，那麼就等於費馬大定理成立。但是，要證明谷山-志村猜想難度有多高？連裡貝特自己都說：“谷山-志村猜想是完全無法接近的，我就是其中一個，我沒有費神去證明它，甚至沒有想過要去試一下”。

13、懷爾斯

安德魯·懷爾斯1953年出生於英國，在10歲時就被費馬大定理吸引住了，從此立下志向，要解決這道世界難題，選擇了數學作為終身職業。1975年，在劍橋大學研究，導師科茨教授，專攻橢圓曲線和巖澤理論，取得博士學位後，來到普林斯頓大學任教授。

科茨教授對證明谷山-志村猜想持悲觀態度：“.....要真正證明它似乎是不可能的，我必須承認，在我有生之年大概是不可能看到它被證明的”

由此看出，谷山-志村猜想真如黑洞一般深不可測。很多數論家、橢圓方程的專家都沒有想過要去嘗試，原因是題目太難，基本上等於浪費時間。懷爾斯也承認自己機會不大，他估計大概需要10年努力，結果有兩個：大機率是虛度光陰，不會有任何成果，小機率是能實現兒時的夢想，他選擇了後者。

從1986年夏末開始獨自秘密研究，經過一年的思考，決定採用歸納法作為證明基礎。又經過兩年，決定採用伽羅瓦群論來處理橢圓曲線的分類問題。

法國數學家-埃瓦里斯特·伽羅瓦

伽羅瓦是個神奇的人，1811年生於法國，創立的群論是當代代數與數論的基本支柱之一。伽羅瓦與一位醫生的女兒熱戀，而這位小姐已經訂婚，其未婚夫非常憤怒，要與其決鬥。伽羅瓦知道對方是著名槍手，自知必死，於是在決鬥前夜將他的所有數學成果疾書下來。1832年5月30日，二人帶著手槍來到一塊田野上，相距25步互相射擊，伽羅瓦腹部中彈倒地，第二天死於腹膜炎，年僅21歲。如果伽羅瓦活到70歲，他極有可能成為尤拉一樣的數學天神。

1990年，懷爾斯發現仍然無法證明如果橢圓方程的一項是模形式，那麼下一項也如此。他嘗試使用“巖澤理論”去解決問題也宣告失敗。1991年秋天，懷爾斯採用“科利瓦金-弗萊切”方法初步獲得成功，這一切都是在秘密進行中。

由於計算量太大，懷爾斯找到同在普金斯頓大學數學系的凱茲教授，希望能獲得其幫助。

1993年6月，懷爾斯完成了證明並做了演講，震驚了世界，然而，這還不算成功。

整個證明手稿有200頁，分為6章，設計複雜的邏輯推理和大量計算，6位審稿人每人負責一章。很快，在第三章發現一個重大缺陷，數學證明猶如一個龐大的工程，只要有一步有問題，整個理論大廈都將倒塌。由於遲遲無法修補整個缺陷，一時間謠言四起。懷爾斯找到審稿人之一的泰勒，這位是“科利瓦金-弗萊切”方法的專家，希望能與之一起來彌補整個缺陷。經過努力，也找不到辦法。懷爾斯打算承認證明失敗。

1994年9月19日，懷爾斯打算在宣佈證明失敗前再看一次手稿。突來靈感，單靠巖澤理論不行，單靠“科利瓦金-弗萊切”方法也不行，二者結合才能完美補足。由此，谷山-志村猜想終獲證明，全文為130頁，1995年5月發表在《數學年刊》上。

懷爾斯

懷爾斯實現了自己童年夢想，也為人類科學做出了巨大貢獻。

結束語

費馬大定理的證明過程，完全不亞於任何武俠小說，有人”女扮男裝“、有人”失戀自殺“、有人”為愛決鬥“......情節跌宕起伏，讓人時而激憤填膺、時而拍案叫好，時而扼腕嘆息，時而如沐春風。

費馬大約在1637年左右提出猜想，一直到1995年才獲得證明，歷時358年。

358年，即使一個人能活到90歲，也需要四代人的光陰。

表面上看，懷爾斯集大成為一身，在學習了少林、武當、峨眉、華山、崑崙、逍遙......等各派武功之後，達到至高境界，登上了數學界的珠穆朗瑪峰。

實際上，費馬大定理的證明是集體智慧的結晶，如果沒有谷山豐、志村五郎、弗賴、裡貝特、伽羅瓦、泰勒.....等很多人的成果，懷爾斯不可能取得成功。人類文明的發展是由無數的科學家嘔心瀝血、前赴後繼來推動的。我們今天手機、電腦能完成複雜的任務，其實質都是數學運算。

科學家，是真正值得我們“追”的明星！

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