以量子霍爾效應和高溫超導的發現為契機，又受到量子資訊科學起飛的影響，凝聚態物理有了轟轟烈烈的發展。特別沿著量子拓撲物態這一主線，使我們對物質的形態，及其演生出的新的物理性質和物理規律有了更深刻的理解。這些新的物理性質可以用來建造各種新器件，如實現拓撲量子計算的器件。發現的新的物理規律，甚至包括了描寫基本粒子的規律。這好像暗示著，我們周圍的真空就是一個由眾多量子位元所形成的量子拓撲物態，而基本粒子是這個量子物態上的激發。這導致了一個資訊與物質統一的新的世界觀。量子拓撲態之所以有這麼多新奇的性質和規律，是因為其內部隱含的多體量子糾纏結構，而不是反映球面環面的拓撲結構。量子拓撲不是拓撲，而是糾纏。多體量子糾纏是一個全新的現象，需要用全新的數學來描寫。一個還正在發展中的抽象數學，高階範疇學，就這樣進入了物理。數學的前沿和物理的前沿如此的接近，還是牛頓以來的第一次。數學物理的相互激勵，導致了高階範疇學和凝聚態物理的蓬勃發展。這些深刻的進展相當於一次新的物理革命——第二次量子革命。需要指出的是，這些發現是由許多科學家努力完成的，諾獎僅僅是表彰了其中的一些亮點。本文將延歷史脈絡介紹這些革命性的工作，短短數十年，我們對量子拓撲物態的認識已經發生了翻天地覆的變化。
——文小剛
撰文 | 文小剛
過去三四十年來，凝聚態物理有許多革命性的進展。特別是過去一二十年來，這些驚豔的進展以爆發的形式出現。這些進展的一個主線，是對量子物態有了更深刻的理解。下面我將簡單介紹這一方面的發展。
對稱所描寫的物質世界
我們的世界豐富多彩，各種物質形態千變萬化。可是所有這些物質態都有相同的組分，都是由質子中子電子所組成的。為什麼相同組分的物質會有如此多的形態？各種不同物質態的精髓到底是什麼？1940年朗道給出了一個答案。他認為各種物質態之所以不同，是因為形成它們的質子中子電子所組成的結構，有不同的對稱性。從這個觀念出發，他發展了各種物質態（也稱之為相）和它們之間相變的理論。朗道的這一理論，成為所有物態和所有相變的標準理論，也成為凝聚態物理的一塊基石。
走出對稱的世界
1980年整數量子霍爾效應被von Klitzing發現[1]，其霍爾電導只能取整數值，與材料無關。通常一個材料的電導和它的純度溫度等條件密切相關，所以這一發現讓人大摔眼鏡，後來Thouless等四人意識到[2]，整數量子化的霍爾電導，和電子能帶的一個拓撲不變數——陳數——直接相關。由陳省身所發展的關於陳數的抽象數學理論，就這樣進入了凝聚態物理。整數量子霍爾效應是第一個量子拓撲物態，其實驗發現和其拓撲理論解釋都獲得了諾貝爾獎（1985年 von Klitzing，2016年部分 Thouless）。
其實Thouless等人關於整數量子化霍爾電導的陳數理論，是基於電子能帶理論的，其只適用於沒有相互作用的電子體系。當多電子體系有相互作用的時候，特別是當相互作用比較強的時候，其物理性質根本不能用電子能帶理論來描述。因為這時候電子能帶根本就無法定義。這樣就產生了一個疑問，當多電子體系有相互作用時，由電子能帶的拓撲性質所推匯出的整數量子化電導，到底還成立不成立？這一問題被Avron、Seiler、牛謙、Thouless和吳詠時解決[3-4]。他們針對有相互作用的多體電子體系，引入了一個全新的拓撲不變數。其實整數量子化霍爾電導是由這一新的拓撲不變數來直接決定的，而不是由電子能帶的陳數來直接決定的，特別是在有相互作用的情況下。這樣第一個量子拓撲物態的理論就完全建立起來了。
拓撲所描寫的新世界
1982年，讓人更加吃驚的分數量子霍爾態被崔琦，Stormer和Gossard發現[5]，其霍爾電導只能取一些簡單的分數值，如1/3，2/5等等。形成分數量子霍爾態的電子，是不可分割的基本粒子。但在分數量子霍爾態中，一個電子的行為表現，和三個帶電1/3的粒子相同。一個不可分割的基本粒子好像被拆成三個帶分數電荷的粒子。這一完全沒想到的發現也獲得了諾貝爾獎（1998崔琦，Stormer，Laughlin）。
1986年高溫超導被Bednorz，Müller發現（又是一個諾獎發現）[6]。這一發現激勵了凝聚態物理理論學家，發展出形形色色腦洞大開的理論。其中一個理論是基於自旋液體的，其中同時帶電帶自旋的電子，好像自發地分裂成只帶自旋的自旋子和只帶電的空穴子。空穴子是玻色子，其玻色凝聚可以導致出高溫超導。能產生高溫超導的自旋液體有很多，其中包括於1988年左右提出的手徵自旋液體（破壞了宇稱對稱）[7-8]，和1991年提出Z2自旋液體（由Z2規範場描寫）[9-10]。很不幸的是，30多年後，這些自旋液體還沒有在實驗材料中找到，雖然在理論上它們是自洽的，而且在某些數值計算的模型中被實現。
整數量子霍爾態，分數量子霍爾態和各種各樣的自旋液體，都超出了朗道對稱性的理論。這是因為這些物態都帶有相同的對稱性，但又屬於不同的相。在朗道對稱理論中，具有相同對稱性的物態一定屬於同一個相。所以這些量子物態都超越了朗道對稱理論，代表了一種新的物質形態。1989年，拓撲序這一概念被引入[11]，用來描寫這一新的物質形態。（拓撲序這一名稱源於其低能有效理論，拓撲量子場論[12]。）
拓撲序本質是量子糾纏
這一新的物質形態的精髓到底是什麼？20年後我們發現這一新的物質形態的精髓（也就是拓撲序的精髓）是長程多體量子糾纏[13]。1989年，量子計算，多體量子糾纏還不流行。其實拓撲序應被稱為長程量子糾纏序。我們知道對稱性，可以用數學中的群論來完全描寫。而長程多體量子糾纏，是一個全新的自然現象，需要用一個全新的數學語言來描寫。透過近十幾年的研究，我們發現，這一新的數學語言是一種很抽象的數學：融合高階範疇學。
長程量子糾纏（拓撲序）能產生很多新奇的物理現象：分數電荷[14]，分數自旋[15]，自旋電荷分離[7-10]，拓撲簡併[11]，分數統計[15-16]，甚至non-Abelian統計[17-18]。拓撲簡併和non-Abelian統計是拓撲量子計算的基礎[19]。拓撲序還展現了拓撲全息原理：拓撲序被其邊界完全決定[20-21]。
沒有拓撲序的新拓撲物態——拓撲絕緣體
整數量子霍爾效應有一個簡單的推廣：當自旋向上的電子數目和自旋向下的電子數目分別守恆的時候，如果這兩種電子感受到方向相反的磁場，這些電子會產生整數量子化的自旋霍爾電導。這代表了一種新的物質態，被稱為量子自旋霍爾態。可是如何在一塊材料中，讓自旋向上和自旋向下的電子感受到方向相反的磁場，從而實現這一種新的物質態？這好像是不可能的事情。
後來人們發現電子的一個相對論性效應，自旋軌道耦合，在適當的情況下可以讓自旋相反的電子感受到相反方向的有效磁場。2003年前後，張首晟等人，Kane等人，在這方面展開了大量的研究[22-23]。當時遇到的一個攔路虎是，一般材料中的自旋軌道耦合，同時也破壞了自旋向上和自旋向下的電子數目分別守恆，這使自旋霍爾電導無法定義。整數量子化的自旋霍爾電導更加無從談起。這使得自旋軌道耦合無法產生量子自旋霍爾態。
這時的一個研究思路是，試圖重新定義自旋霍爾電導，使這個新的定義，即使在自旋向上和自旋向下的電子數目不分別守恆時也能成立，從而實現量子自旋霍爾效應。很遺憾的是這一思路最後沒有成功，浪費了幾年寶貴的時間。
2005年，Kane和Mele發現[24]，當有自旋軌道耦合的時候，電子能帶會有一個全新的Z2拓撲不變數。這一新的拓撲不變數和量子自旋霍爾電導毫無關係。它的發現代表了一個全新的量子拓撲物態。這一透過理論發現的新的量子拓撲物態，後來被稱為拓撲絕緣體。這一理論預言很快被實驗實現和證實，開啟了拓撲絕緣體的研究方向和熱潮。拓撲序的拓撲全息原理同樣適用於拓撲絕緣體，並在其發展中起了很大作用。
拓撲絕緣體不是量子自旋霍爾態。不幸的是，一些文獻把量子自旋霍爾態和拓撲絕緣體這兩種不同的拓撲物態混為一談，給初學者造成了很大的困惑。另外，拓撲絕緣體沒有長程量子糾纏，不含有拓撲序。也有一些文獻混淆了拓撲絕緣體和拓撲序，造成了混亂。
含有拓撲序的量子自旋液體和量子霍爾態，是超越朗道對稱理論的量子物態。不含拓撲序的拓撲絕緣體，也是超越朗道對稱理論的量子物態。我們知道拓撲序的精髓是長程多體量子糾纏。那麼拓撲絕緣體的精髓是什麼？也許有人會說：拓撲絕緣體的精髓是電子能帶的Z2拓撲不變數。其實這種說法不完全正確。電子能帶的Z2拓撲不變數只適用於沒有相互作用的電子體系，因為只有沒有相互作用的電子體系才能被電子能帶來刻畫。而拓撲絕緣體這一新的量子物態，不僅出現於沒有相互作用的電子體系之中，也出現於含有強電子相互作用的體系。這時電子能帶的Z2拓撲不變數這一理論將不再適用。所以我們又回到了原點，拓撲絕緣體的精髓和真實內涵到底是什麼？
拓撲絕緣體的內涵——對稱保護的短程糾纏
這一探索有一個不同的起點。很早我們就知道，由1/2自旋所形成的，帶有反鐵磁相互作用的一維自旋系統，由於強量子漲落，不能形成一個自旋序的無能隙的反鐵磁態。但它能形成近似於自旋序的無能隙量子態。這時人們普遍認為由1自旋所形成的，帶有反鐵磁相互作用的一維自旋系統，由於有較弱量子漲落，也一定會形成近似於自旋序的無能隙量子態。1983年，Haldane指出這一猜想並不正確[25]（這也是他獲得2016諾獎的一個原因）。他發現，只有半整數自旋形成的一維自旋系統，能形成近似於自旋序的無能隙量子態。而整數自旋形成的一維自旋系統，只能形成完全沒有自旋序的有能隙量子態。Affleck，Kennedy，Lieb，Tasaki和後來的吳大琪發現[26-27]，這些有能隙的量子態有分數化現象：體系的邊界會產生一個有效自旋，其自旋值只是原來形成一維自旋體系的自旋值的一半。那麼這些有能隙，又有邊界分數化的量子物態，是不是超越朗道對稱理論的新的量子物態？這一問題困惑了物理學家二三十年。直到2012年，這一問題才得到圓滿的解決[28]，其答案是有時候是，有時候不是。我們發現由偶整數自旋所形成的有能隙量子態，並沒有超越朗道對稱理論，是老的量子物態。而由奇整數自旋所形成的有能隙量子態，是超越朗道對稱理論的新型量子物態[29]。這一新型量子物態並沒有長程量子糾纏（也就是說沒有拓撲序）。
一個量子物態，如果沒有拓撲序，大家一直以為這個量子物態一定是一個能被朗道對稱理論所描寫的老的量子物態。的確，如果沒有對稱性，這一觀點是正確的。因為如果沒有對稱性，所有沒有拓撲序的量子體系都屬於同一個相。這與朗道對稱理論的結論相吻合：如果沒有對稱性，所有有能隙的量子體系都屬於同一個相。
但是如果有對稱性，我們會有完全不同的結論。2009年顧正澄和我研究了奇整數自旋所形成的有能隙量子態[29]。我們發現這些有能隙量子態沒有拓撲序，只具有短程量子糾纏。它們和0自旋所形成的有能隙量子態具有完全相同的對稱性，同時又都不含有拓撲序。可奇怪的是，我們又發現這兩種有能隙的量子態又屬於不同的相。這說明在有對稱性的情況下，不含有拓撲序同時又具有相同對稱性的量子態，完全可以屬於不同的相。這超出了朗道對稱理論的認知，屬於新的一類量子態。我們把這一類量子態，稱為對稱保護平庸態（這裡平庸指不含拓撲序）。可因其分數化的邊界自旋，當時已經有很多人把整數自旋所形成的有能隙量子態，稱為拓撲物態。所以我們把這一類量子態，又稱為對稱保護拓撲態。兩種名字的英文縮寫都是SPT。一個名字，兩種理解，因人而異，各取其用。
因為拓撲絕緣體不含拓撲序，但帶有對稱性，並受對稱性保護，所以拓撲絕緣體的精髓和內涵是對稱保護的短程多體量子糾纏，是屬於一種SPT量子物態。這一理解適用於沒有相互作用的電子體系，也適用於有相互作用的電子體系，又適用於有相互作用的玻色子體系，是一個本質上的理解。
短程多體量子糾纏是一個比較簡單的量子現象，加上對稱性也沒有複雜很多。一兩年後我們就發現了描寫這一物理現象的數學語言：群的上同調理論[30]。這也是一個比較抽象的近代數學。
21世紀屬於量子糾纏
一個全新的物理現象，常常需要一個全新的數學語言。而數學語言的發展又能幫助我們建立這一物理現象的完備理論。凝聚態物理最新的一些發展正反映了這一歷史規律。這些發展和量子計算，基本粒子理論和量子引力理論都有非常廣泛深刻的聯絡，甚至指出了一個物質與資訊統一的新的世界觀。這似乎也揭示了21世紀物理的主角應該是量子糾纏。
參考文獻
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