今天，我們將討論3個方程，一個導致了量子力學的誕生，另一個為廣義相對論奠定了基礎，最後一個方程是將量子力學和相對論結合起來的第一次成功嘗試。
理論物理學家的追求是透過一個基礎理論來解釋不同的現象，這個理論由數學規則組成，必須能解釋觀察到的結果。一般來說，這種方法是將實驗資料與數學模型相匹配的。然而，在許多情況下，“數學之美”迫使這些物理學家回頭去看方程式，並試圖在此基礎上 "適應自然"。我們將看到一些方程式最初導致了什麼，以及它們是如何展開的，以發現關於自然界本身的一些基本東西。
量子力學的起源
正常的物質，由於其內部粒子的運動，會發出電磁輻射。像太陽（表面溫度約6000K）這樣的物質會發出白色的光芒，我們的人體（表面溫度約300K）會發出低頻紅外光等等。
- 瑞利-瓊斯定律（ Rayleigh-Jeans Law ）預測的黑體輻射（維基百科）
以上是實驗得出的恆溫黑體的亮度隨頻率變化的分佈圖。
直到20世紀初，這條曲線還是一個數學上的謎團。瑞利和瓊斯提出了一個新的概念來解釋這個問題，即一個物體的熱能將在粒子振動的所有可能能量狀態中平均分配。他們假設粒子可以以儘可能低的能量振動。
由此得出的方程（如上圖所示，圖中的黑色曲線）預測，隨著頻率的增加，強度應最終接近無窮大。(這就是俗稱的 "紫外線大災難"。)
馬克斯-普朗克將這一災難視為一個意外。在他絕望時，他引入一個數學技巧，他假設一個粒子只能以某個最小能量的倍數振動。他給這個最小能量分配了一個數字（hν），其中h是一個非常小的數字，ν是頻率。他不相信量化的能量狀態，相反，他認為 "h "這個詞會在最後的方程中被取消，因為能量應該是連續的。但事實並非如此。
相反，他提出的這個方程完美地預測了黑體曲線。最初被引入的是一個技巧，現在暗示h是一個真實的、自然界的基本實體。它導致了能量實際上是量化的想法。h被稱為普朗克常數。這是量子力學的起源，後來導致了玻爾、海森堡和薛定諤等人的量子理論的誕生。
廣義相對論
- 時空曲率示意圖
愛因斯坦最初相信靜態宇宙的概念，這個概念在當時是被接受的。1915年，他提出廣義相對論。他對自己的方程不滿意，因為這些方程預測整個宇宙最終會在引力的作用下收縮，預示著宇宙的終結方式是自身坍塌。
為了否定這種可能性，愛因斯坦在1917年增加了一個宇宙學常數（Λ），並給它定了一個值，這個值正好可以抵消引力，使宇宙保持靜止（一個不穩定的平衡狀態）。他後來稱這個想法是 "他一生中最愚蠢的行為"。1931年，哈勃望遠鏡顛覆了物理學界，發現宇宙實際上在膨脹，而不是靜止的。
所以，宇宙不是靜止的。愛因斯坦是怎麼做的？他放棄了宇宙常數，提出了一個持續膨脹的宇宙模型，即Λ=0。
愛因斯坦的這個Λ=0的宇宙膨脹模型被認為是正確的，直到1998年，我們的理解將永遠改變。
兩組天文學家對遙遠的超新星進行了觀察，發現星系不僅僅是在遠離我們，而且實際上是在加速遠離我們。這意味著有一種潛在的能量正在迫使它們遠離我們。這意味著宇宙學常數Λ確實存在，而且Λ>0。這個能量存在，但從未被直接觀測到，被稱為真空的暗能量。
狄拉克方程
到了20世紀初，我們瞭解了物質粒子的波特性。薛定諤方程預測了任何量子系統的波函式的演化。然而，它也有自己的問題。
- 與時間有關的薛定諤方程
- 薛定諤方程只能預測緩慢運動粒子的波函式。正如我們從狹義相對論中知道的那樣，所覆蓋的距離和所經歷的時間的值與觀察者有關。這是一個大問題，因為亞原子粒子確實以非常高的速度運動。
- 薛定諤方程對存在於磁場中的電子預測了錯誤的結果。物理學家們發現了電子的一個隱藏的量子狀態（稱為電子自旋，它可以有兩個值），這在薛定諤波函式中沒有考慮到，而在磁場中，自旋方向是非常重要的。
- 保羅-狄拉克
1928年，保羅-狄拉克解決了薛定諤方程中的這些問題。他試圖建立一個具有兩種可能自旋狀態的電子模型，他從愛因斯坦的方程開始，試圖用量子形式中的能量和動量取代它們各自的項。結果方程相當複雜，在數學上可以說是 "醜陋的"。
在試圖解決這一複雜的問題時，他偶然發現了一個美麗的想法。他意識到，與其求解一個二分量的電子系統，不如求解一個四分量的系統，將方程中的複雜性壓化簡一個美麗的形式。
- 狄拉克方程（μ假設值為0、1、2、3）
他剛剛在4分量電子中引入了兩個新的自由度，卻沒有意識到它們代表什麼。由此產生的方程是如此優雅，使他相信自己走在正確的道路上。
他的方程在預測快速運動的電子在磁場中的演變方面取得了成功（解決了上述問題1和2）。
但這兩個額外的量是什麼？
計算這兩種新狀態的能量，狄拉克發現這些粒子可以表現出負能量和正電荷，與電子完全相反。讓我們把它們稱為反電子。解釋這些的理論意味著，如果一個電子與一個反電子相互作用，它們都會湮滅並釋放出所有的能量。
狄拉克方程的額外成分已經預測到了反物質的存在。1928年後不久，實驗物理學家在宇宙射線中成功觀察到了反電子（稱為正電子）。反物質是真實存在的，甚至在我們意識到它的存在之前，狄拉克就已經能夠預測並計算出它們的特性。
對數學之美的追求給狄拉克帶來了豐厚的回報。沒有預先定義的方法，在理論上追求某種形式的美或優雅，而不是實驗的意義，這一直是物理學界最優秀的人之間長期的哲學辯論。
