托勒密定理
古埃及天文學家托勒密(~100-168)，在他的著作中不僅描述了行星理論，還包含許多數學三角和幾何的知識，在書中，他還給出了π的近似值為377/120，並證明了現在以他的名字命名的定理。
設一個凸四邊形ABCD內接一個圓中，那麼兩個對邊的乘積的和等於它兩條對角線的乘積。換句話說,：AD⋅BC+AB⋅CD=AC⋅BD.
證明：
在對角線上BD定位一個點M，使角ACB和角MCD相等。由於角BAC和BDC對同一條弧，所以它們相等。因此三角形ABC和DMC是相似的。得到
CD/MD=AC/AB，或
AB⋅CD=AC⋅MD (1)
角度BCM和ACD也是相等的;因此三角形BCM和ACD相似，得到
BC/BM=AC/AD，或
BC⋅AD=AC⋅BM。 (2)
把(1),（2））兩個等式加起來就得到了
AB⋅CD + BC= AC⋅MD + AC⋅BM = AC⋅BD
AB⋅CD+BC⋅AD=AC⋅MD+AC⋅BM=AC⋅BD
托勒密定理可以推出一個有用的不等式:對於四個點a, B, C, D，並不一定是共圓的點，
AB⋅CD+BC⋅AD≥AC⋅BD
這就是眾所周知的托勒密不等式。
托勒密定理的應用
利用托勒密定理可以證明三角的和差化積公式。如圖BC經過圓心，則角BAC=90°角BDC=90°, BC=1, 直接帶入托勒密公式就有：
為了證明正弦的兩個角的差公式，讓邊BC作為直徑，使BC=1，則角BAC=角BDC=90°, 利用直角三角形得出各邊長，帶人托勒密公式就證明出：
